Continuo $f$ tal que $\int_1^2 f(x)\, \mathrm dx = 0$ demuestre que existe $1 \lt c \lt 2$ tal que $c f(c) = \int_c^2 f(x)\,\mathrm dx$

Question

$\def\d{\mathrm{d}}$ Sea $f\colon [1,2]\to\mathbb{R}$ sea una función continua tal que $$\int_1^2 f(x)\, \d x = 0.$$ Demuestre que existe $1 < c < 2$ tal que $$c f(c) = \int_c^2 f(x)\,\d x.$$

Entiendo que puedo dividir la integral y reescribirla como $$\int_1^c f(x)\,\d x + \int_c^2 f(x)\,\d x = 0,$$ pero no sé cómo seguir adelante.

Answer 1

Sea $F(x)=\int_x^2 f(t) \mathrm{d}t$ . Entonces $F'(x)=-f(x)$ y $F(1)=F(2)=0$ . Ahora aplica Teorema de Rolle a $x F(x)$ .