¿Por qué los valores propios/vectores propios complejos provocan una rotación?

Question

Estoy tratando de entender la intuición detrás de los valores propios/vectores propios a través de la lente de la multiplicación repetida de matrices:

Dada una $2\times2$ matriz $M$ y $2D$ vector $v$ , multiplicando $v$ repetidamente con $M$ hace que el resultado ( $M^n v$ ) para gravitar hacia uno de los eigenspaces de $M$ porque:

$$M^n v = M^n(\alpha x_1 + \beta x_2) = (\alpha \lambda_1^n x_1 + \beta \lambda_2^n x_2)$$

donde $x_1$ y $x_2$ son vectores propios de $M$ y $\lambda_1$ y $\lambda_2$ los valores propios correspondientes. Como $n$ se hace más grande $M^n v$ gravitarán hacia cualquiera de los dos $\alpha \lambda_1^n x_1$ o $\beta \lambda_2^n x_2$ , el que tenga el valor propio dominante.

asumiendo: $v = \alpha x_1 + \beta x_2$

Así que lo anterior es una forma de conectar el concepto abstracto de valor propio/vector propio con algo concreto: lo que ocurre cuando se aplica una matriz una y otra vez a un vector.

Sin embargo, la intuición se me rompe con los vectores propios complejos. Sé que la multiplicación repetida por una matriz con vectores propios complejos hace que el resultado sea una espiral hacia fuera o hacia dentro.

¿Existe una matemática simple como la de arriba para ver por qué?

Edición: Sé que se han hecho preguntas similares antes, pero lo pregunto en el contexto de la multiplicación repetida de matrices

Answer 1

Toda matriz cuadrada es similar a una matriz en lo que se llama Forma canónica de Jordania . Esto tiene varias propiedades, pero lo más importante aquí es que es triangular superior, y los valores propios (tanto de la matriz nueva como de la original) están en la diagonal de la matriz resultante.

La forma de pensar en este proceso es que cambiamos de base, y en esa nueva base la matriz se vuelve diagonal. Esto ayudará a la intuición existente dada en el PO sobre la iteración de la matriz, porque la iteración de una matriz triangular simplemente exponenciará las entradas diagonales (y hará cosas predecibles pero algo desordenadas a la parte por encima de la diagonal).

Ahora bien, si un valor propio es complejo, todo lo anterior sigue siendo válido. Sin embargo, si la matriz original tenía entradas reales, entonces ese valor propio debe ser emparejado con su conjugado complejo -- ambos $a+bi$ y $a-bi$ deben ser valores propios. Entonces, podemos reordenar la matriz JCF estándar, como se ha descrito anteriormente, en lo que se llama Forma canónica real de Jordania . Ahora, en lugar de que la matriz sea totalmente triangular superior, habrá algunos $2\times 2$ a lo largo de la diagonal, un reordenamiento de lo que era un par de valores propios complejos más su conjugado en el JCF original. Las entradas de estos $2\times 2$ son exactamente las partes real e imaginaria de estos dos valores propios complejos.

Cada uno de estos $2\times 2$ realiza una rotación en el espacio bidimensional abarcado por esos dos elementos base. Por lo tanto, un $6\times 6$ matriz con seis valores propios complejos podría estar haciendo tres rotaciones diferentes en tres direcciones bidimensionales distintas a la vez.

En el original $2\times 2$ La razón por la que un valor propio complejo conduce a una rotación es que debe aparecer con su conjugado complejo, suponiendo que la matriz original tiene entradas reales. Como par dan una rotación. Si la matriz original no tiene entradas reales, entonces la matriz no tiene por qué representar una rotación pura, porque los dos valores propios no tienen por qué estar relacionados.

Answer 2

Bueno, una forma de verlo es considerando la identidad $$e^{i\theta}=\cos(\theta)+i\sin(\theta)$$ que nos dice que la función $e^{i\theta}$ traza el círculo unitario del plano complejo. Podemos observar que si tenemos un valor propio de la forma $e^{i\theta}$ entonces las potencias de la misma son de la forma $e^{ni\theta}$ - por lo que sólo giran alrededor del círculo unitario cuando se exponen. Por ejemplo, la expresión $i^n$ se limitará a recorrer el patrón $1,\,i,\,-1,\,i$ haciendo cuartos de vuelta alrededor del círculo de la unidad y $(-i)^n$ hace lo mismo, pero a la inversa. Esto nos dice más o menos por qué estos podrían ser los valores propios de una rotación del plano de un cuarto de vuelta. Lo mismo ocurre con cualquier rotación del plano.

Podemos pensar que los valores propios en el círculo unitario del plano complejo nos indican que la matriz actúa más o menos periódicamente sobre el correspondiente vector propio. De forma más general, si consideramos vectores propios de la forma $re^{i\theta}$ como si tuviera un componente de escala $r$ así como un componente rotativo/periódico $\theta$ . También se puede visualizar esto observando directamente que el mapa $z\mapsto re^{i\theta}$ es una simple rotación del plano complejo por $\theta$ junto con una dilatación por $r$ .