Estoy tratando de entender la intuición detrás de los valores propios/vectores propios a través de la lente de la multiplicación repetida de matrices:
Dada una $2\times2$ matriz $M$ y $2D$ vector $v$ , multiplicando $v$ repetidamente con $M$ hace que el resultado ( $M^n v$ ) para gravitar hacia uno de los eigenspaces de $M$ porque:
$$M^n v = M^n(\alpha x_1 + \beta x_2) = (\alpha \lambda_1^n x_1 + \beta \lambda_2^n x_2)$$
donde $x_1$ y $x_2$ son vectores propios de $M$ y $\lambda_1$ y $\lambda_2$ los valores propios correspondientes. Como $n$ se hace más grande $M^n v$ gravitarán hacia cualquiera de los dos $\alpha \lambda_1^n x_1$ o $\beta \lambda_2^n x_2$ , el que tenga el valor propio dominante.
asumiendo: $v = \alpha x_1 + \beta x_2$
Así que lo anterior es una forma de conectar el concepto abstracto de valor propio/vector propio con algo concreto: lo que ocurre cuando se aplica una matriz una y otra vez a un vector.
Sin embargo, la intuición se me rompe con los vectores propios complejos. Sé que la multiplicación repetida por una matriz con vectores propios complejos hace que el resultado sea una espiral hacia fuera o hacia dentro.
¿Existe una matemática simple como la de arriba para ver por qué?
Edición: Sé que se han hecho preguntas similares antes, pero lo pregunto en el contexto de la multiplicación repetida de matrices