Estoy tratando de entender la intuición detrás de los valores propios/vectores propios a través de la lente de la multiplicación repetida de matrices:
Dada una 2×22×2 matriz MM y 2D2D vector vv , multiplicando vv repetidamente con MM hace que el resultado ( MnvMnv ) para gravitar hacia uno de los eigenspaces de MM porque:
Mnv=Mn(αx1+βx2)=(αλn1x1+βλn2x2)Mnv=Mn(αx1+βx2)=(αλn1x1+βλn2x2)
donde x1x1 y x2x2 son vectores propios de MM y λ1λ1 y λ2λ2 los valores propios correspondientes. Como nn se hace más grande MnvMnv gravitarán hacia cualquiera de los dos αλn1x1αλn1x1 o βλn2x2βλn2x2 , el que tenga el valor propio dominante.
asumiendo: v=αx1+βx2v=αx1+βx2
Así que lo anterior es una forma de conectar el concepto abstracto de valor propio/vector propio con algo concreto: lo que ocurre cuando se aplica una matriz una y otra vez a un vector.
Sin embargo, la intuición se me rompe con los vectores propios complejos. Sé que la multiplicación repetida por una matriz con vectores propios complejos hace que el resultado sea una espiral hacia fuera o hacia dentro.
¿Existe una matemática simple como la de arriba para ver por qué?
Edición: Sé que se han hecho preguntas similares antes, pero lo pregunto en el contexto de la multiplicación repetida de matrices