Prácticamente cualquier persona que hace el álgebra es familiar con el grupo de objetos en categorías, pero, ¿qué acerca de cogroup objetos? La mayoría de lo que he sido capaz de encontrar acerca de ellos es que "surgen de manera natural en topología algebraica" (de wikipedia) y que, de alguna manera, la n-esfera es un (nLab's escasos entrada). Hay una referencia para más información sobre la materia? Específicamente se preguntaba si los espacios de punta mapas de un espacio topológico X a la punta de la esfera se cogroups, y si algo se sabe acerca de estos "cohomotopy de los grupos".
Respuestas
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Jay Mooney
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Las esferas son (homotopy) cogroups por la misma razón que homotopy de grupos. El comultiplication S^n \S^n \vee S^n es el mapa que se derrumba el ecuador, el mismo mapa que se utiliza para definir la composición en homotopy grupos. Tenga en cuenta que esto sólo satisface el cogroup axiomas hasta homotopy, así como la composición de la homotopy grupo es sólo un grupo de operación, debido a que usted está tomando homotopy clases.
Sin embargo, los Mapas(X,S^n) no hereda natural cogroup estructura de S^n, porque los Mapas(X,S^n \vee S^n) no natural de mapa de Mapas(X,S^n) \vee Mapas(X,S^n). Sin embargo, hay algo que se llama (estable) cohomotopy grupos: estos son estables homotopy clases de mapas de X a S^n. Este es un cohomology teoría, la cohomology de la teoría asociada a la esfera del espectro. Este cohomology teoría es muy difícil de calcular, aunque; su valor en un punto es la estable homotopy grupos de esferas!
La forma en que usted puede obtener un cogroup de una esfera y un arbitrario espacio es mediante la adopción de smash productos, en lugar de la asignación de espacios: para cualquier X, X \wedge S^n (que es la n-veces la suspensión de X) es un homotopy cogroup. Usted puede ver esto mediante el uso de la misma "colapso del ecuador" mapa sobre la suspensión, o se puede ver más categóricamente el hecho de que tenemos un mapa X \wedge S^n \X \wedge (S^n \vee S^n) = (X \wedge S^n) \vee (X \wedge S^n). Más en general, si C es un cogroup, por lo que es X \wedge C para cualquier X (y Mapas(C,X) es un grupo), y si G es un grupo, por lo que es de los Mapas(X,G) para cualquier X.
Anonymous User
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Usted puede estar pensando en los mapas en un cogroup objeto debe formar un cogroup la forma en que los mapas en un grupo objeto de formar un grupo. Esto no es del todo cierto, la "correcta" analógico es que los mapas de un cogroup objeto de formar un grupo.
Más precisamente, si G es un objeto en una categoría y D es su grupo de diagrama de objetos, y luego aplicar el functor Hom(X,-) a D de los rendimientos de un grupo de objetos diagrama de decisiones Hom(X,G) en un grupo. Esencial aquí es el hecho de que Hom(X,-) conserva los productos (de hecho todos los límites); generalmente no conservar los co-productos, por lo que, en general, uno podría no esperar Hom(X,S) a heredar una cogroup estructura de un cogroup estructura en S. Espero que esto resuelva tus reflexiones acerca de la posibilidad de "cohomotopy grupos".
La doble afirmación es verdadera para cogroups: si S es un cogroup, la aplicación de Hom(-,X) a su cogroup diagrama se obtiene un diagrama de definición de una estructura de grupo en Hom(S,X). Aquí, doblemente, es esencial que el Hom(-,X) se vuelve co-productos en productos (de hecho, todos los colimits a límites correspondientes); generalmente no girar los productos en co-productos.
Esto hace precisa la relación de la cogroup estructura en las esferas de homotopy grupos: si se trabaja a través del ejemplo de Sn y ver cómo su cogroup estructura hace que Hom(Sn,a,X) en un grupo después de la aplicación de Hom(-,X), se obtendrá exactamente la enésima homotopy grupo de X :)
csmba
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jldugger
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A mí me parece que todavía hay algo que decir aquí.
Supongamos que C es una categoría. Luego tenemos el Yoneda functor C(X,-) de C a de Conjuntos.
Un cogroup estructura en X es un ascensor de este functor a un functor a los Grupos. Si C tiene finita co-productos, pero NO de otra manera, esto es equivalente a un counit mapa X --> 0, donde 0 es la inicial del objeto, NO el terminal de objeto como se ha indicado anteriormente, una comultiplication mapa
X --> X + X (donde + denota el subproducto)
y un coinverse mapa X --> X, haciendo que el habitual diagramas conmutan.
Obviamente, no hay cogroups en cualquier categoría, donde el conjunto vacío es el objeto inicial, como Conjunto o en la parte Superior. Si utiliza señaló conjuntos de espacios de trabajo, usted podría tener una oportunidad.
Pero el mejor ejemplo está en la categoría de conmutativo k-álgebras, donde k es un campo. Un cogroup objeto es sólo un álgebra de Hopf, y estos aparecen por las matemáticas. Usted puede saber de ellos bajo el nombre de grupo afín esquemas, porque un cogroup objeto en conmutativo k-álgebras es la misma cosa, como un objeto de grupo en el frente de la categoría de afín esquemas sobre k.
Un buen ejemplo es el de GL(n). Como un anillo conmutativo este es el polinomio de álgebra en el n^2 entradas en la matriz, con el determinante polinomio invertida. El counit es dual a la matriz identidad, por lo que toma el generador x sub ij a 0 si i no es j, y 1 si lo es. El comultiplication es dual a la multiplicación de la matriz, por lo que toma x sub ij a la suma de
x sub ik tensor x sub kj .
El coinverse es dual a la inversa de la matriz, de manera que x sub ij va a la fórmula para la ij-entrada de la inversa.
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