Demostrar A Trozos Función Integrable

Question

$$ f(x) = \begin{cases} -2, & \text{if }x < 0 \\ 1, & \text{if }x > 0\\ 0, & \text{if }x = 0 \end{casos} $$

Hola chicos necesito un poco de ayuda, mostrando que esta función es integrable en el intervalo cerrado $[-1,2]$.

Hasta ahora mi idea ha sido mostrar $$U(f,P)-L(f,P) < \epsilon$$ for some $\epsilon>0$.

El único problema es el punto de $(0,0)$ en la función.

No entiendo cómo manejar eso.

Puedo decir que $U(f,P)$ para algunos partición será igual a $3$ y, a continuación, encontrar una partición de $P$ que $$3-L(f,P)<\epsilon?$$

Answer 1

Deje $\sigma$ ser una partición de $[-1,2]$. Tomando Arthur sugerencia, tienen la partición de ser de la forma, $$[-1,-\delta],[-\delta,\delta],[\delta,2]$$ for appropriately small $\delta >0$.

El supremum de $f(x)$ es de -2 en la primera subinterval, $1$ en el segundo subinterval, y $1$ en el tercer subinterval (verificar). Así, la suma superior está dada por $$U_{f,\sigma}=(1-\delta)\cdot -2 + 2\delta \cdot 1 + (2-\delta)\cdot 1=3\delta$$ El infimum de $f$ en el primer intervalo es $-2$, así como el $-2$ en el segundo subinterval, y $1$ en el último (verificar). Por lo tanto la baja de suma está dada por $$L_{f,\sigma}=(1-\delta)(-2)+2\delta \cdot (-2) +(2-\delta)\cdot 1=-3\delta$$ Por lo tanto, $U_{f,\sigma}-L_{f,\sigma}=6\delta$ y debería estar claro cómo los pequeños a hacer $\delta$.

Answer 2

Observe que para cualquier $x$ a que $f$ es discontinuo, $x$ puede estar contenida en un intervalo tan pequeño como usted por favor. Asegúrese de incluir este pequeño intervalo en su partición.