El valor esperado de dinero de una moneda a voltear juego

Question

Dicen que fueron a jugar a un juego. Hemos empezado con \$100 and kept flipping a fair coin. If it turned out heads, we won \$1, otra cosa que nuestro dinero se invierte. Por ejemplo, si en la primera vuelta tenemos jefes, entonces tendríamos \$101. And if we got tails, we'd have \$0.01. ¿Cuál es el valor esperado del dinero que tenemos después de N flips?

Una manera de pensar acerca de esto es el uso de la recursividad, es decir, para encontrar la relación recursiva entre f(n) y f(n-1), donde f(n) que se espera que el dinero después de n lanzamientos. Sin mucho esfuerzo podemos encontrar: $$f(n) = \frac{1}{2}(f(n-1)+1) + \frac{1}{2f(n-1)}$$ Sin embargo, si hacemos uso de esta relación, vamos a tener nuestro dinero vaya hacia abajo exponencialmente rápido, lo cual va en contra del sentido común.

Por ejemplo, si utilizamos la anterior relación, comenzando con \$100, after 7 flips, we'll have around \$1. Pero una simple simulación por ordenador muestra debe estar ligeramente por encima de \$18.

¿Alguien puede arrojar algo de luz sobre este problema?

Answer 1

Cuando las colas vienen en pares, con cerca de \$100. For example, with $n=7$, en las siguientes secuencias de lanzamientos dejo con una gran cantidad de dinero:

$$\begin{array}{rl} TT\,TT\,TT\,H & $ 101\\ TT\,TT\,H\,TT & $ 101\\ TT\,TT\,H\,H\,H & $ 103\\ TT\,H\,TT\,TT & $ 101\\ TT\,H\,TT\,H\,H & $ 103\\ TT\,H\,H\,TT\,H & $ 103\\ TT\,H\,H\,H\,TT & $ 103\\ TT\,H\,H\,H\,H\,H & $ 105\\ H\,TT\,TT\,TT & $ 101\\ H\,TT\,TT\,H\,H & $ 103\\ H\,TT\,H\,TT\,H & $ 103\\ H\,TT\,H\,H\,TT & $ 103\\ H\,TT\,H\,H\,H\,H & $ 105\\ H\,H\,TT\,TT\,H & $ 103\\ H\,H\,TT\,H\,TT & $ 103\\ H\,H\,TT\,H\,H\,H & $ 105\\ H\,H\,H\,TT\,TT & $ 103\\ H\,H\,H\,TT\,H\,H & $ 105\\ H\,H\,H\,H\,TT\,H & $ 105\\ H\,H\,H\,H\,H\,TT & $ 105\\ H\,H\,H\,H\,H\,H\,H & $ 107\\ \end{array} $$

Hay $F(n+1)$ tan "buena" secuencias de lanzamientos, donde $F(n)$ $n$ésimo número de fibonacci, aproximadamente $\frac1{\sqrt 5}\phi^n$ donde $\phi\approx 1.618$. Para un gran $n$, esta es una insignificante fracción del espacio de todos los flips. Pero cuando $n$ es pequeña, decir $n=7$, entonces es importante. Para $n=7$ hay $F(7+1) = 21$ tan "buena" secuencias de lanzamientos de 128. De modo que podemos obtener una estimación muy aproximada de que el resultado esperado para $n=7$ es de alrededor de $$\$100\cdot \frac{21}{128} + \$1\cdot \frac{115}{128} \approx \$17.24$$ que no es demasiado lejos de lo que el equipo de simulación, dice.

Para obtener una mejor estimación, necesitamos tener en cuenta el hecho de que la gran ganadora de los jackpots de exceder \$100 by up to $n$ dollars each, and that when all the tails appear in pairs, plus there is one more tail at the end, (as $H\,TT\H\,TT\,T$ for example) then we end not with close to \$1 pero con cerca de \$0.

Al $n$ se convierte en grande, $2^{-n}F(n+1)\ll1$, debido a $\phi<2$, por lo que el aporte adicional de la suerte flips (y la mala suerte se voltea) se convierte en insignificante, y el rendimiento esperado es de cerca de $1$.

Answer 2

La expectativa es lineal, pero tiene un no-lineal plazo ($1/f(n)$, aunque creo que debería ser $1/f(n-1)$, pero eso es un punto menor). ¿Qué te hace pensar que usted puede calcular la expectativa $f(n)$ por ingenuamente conectar a la expectativa $f(n-1)$ en un simple recurrencia de la variable aleatoria que no es lineal?

En cualquier caso, si su cantidad actual de dinero es un poco grande (por ejemplo, 3 dólares o más), a continuación, con una probabilidad de $ 1- 1/2^k$ obtendrá la inversa y por lo tanto muy poco en el $k$th flip y, a continuación, con una probabilidad de $1/2$ después de acercarse a 1 dólar y, a continuación, no importa lo que suceda, su importe se mantendrá baja, con alta probabilidad.