La aplicación de Stokes teorema - ¿qué superficie?

Question

Determinar la integral de la $$\oint_L \textbf{A} \cdot d\textbf{r}$$ donde $$\textbf{A} = \textbf{e}_x(x^2-a(y+z))+\textbf{e}_y(y^2-az)+\textbf{e}_z(z^2-a(x+y))$$ y $L$ es la curva dada por la intersección entre el cilindro $$\cases{(x-a)^2+y^2=a^2 \\z\geq0}$$ y la esfera de $$x^2+y^2+z^2=R^2, \:\:\:\:\:\:\:\ (R^2>4a^2)$$ La orientación es tal que en $x=0$ de la tangente a la curva es paralela con $-\textbf{e}_y$

Intento de solución:

Vamos a aplicar Stokes teorema. En primer lugar, permítanme presentarles a una representación gráfica del problema. El camino de $L$ entonces, visto desde arriba, será la siguiente:

Un simple cálculo muestra $\nabla \times \textbf{A} = (0,0,a)$. Aquí viene mi problema...

Pregunta

Qué superficie de estoy buscando para hacer una superficie integral? Es el cilindro entero o sólo la parte "superior"? ¿Cómo puedo saber?

Answer 1

La superficie puede ser CUALQUIER superficie cuya frontera es una curva de $L$.

En este caso, una posibilidad sería la parte de la esfera en el interior del cilindro, que se puede parametrizar como sigue: \begin{cases} x= x\\ y=y \quad \quad \quad \quad \quad \quad \text{with} \quad (x,y)\mid (x-a)^2+y^2\le a^2\\ z= \sqrt{R^2-x^2-y^2}\\ \end{casos}

La aplicación de Stokes teorema de terminar la pregunta de los rendimientos $$ \oint_L \textbf{Un}\cdot d\textbf{r} = \iint_S \nabla\times \textbf{Un}\cdot d\textbf{S} = \iint_\límites{(x-a)^2+y^2\le a^2}\pmatrix{0\\0\\a}\cdot \pmatrix{1\\0\\\frac{-x}{\sqrt{R^2-x^2-y^2}}} \times \pmatrix{0\\1\\\frac {y}{\sqrt{R^2-x^2-y^2}}}\; dA = \iint_\límites{(x-a)^2+y^2\le a^2}\pmatrix{0\\0\\a}\cdot \pmatrix{*\\*\\1}\; dA = \iint_\límites{(x-a)^2+y^2\le a^2}\; dA = \pi^3 $$

Answer 2

SUGERENCIA: la intersección de la esfera y el cilindro es la curva de $L$, que pasó a ser ab elipse en este caso particular, ya que $R^2>4a^2$. Se puede encontrar la ecuación de la elipse?

El interior de la elipse es la superficie que se puede usar para calcular la integral en $L$ a través de Stoke teorema.