Demostrando un cierto conjunto en un espacio métrico compacto está abierto

Question

La pregunta es:

Deje $(X,d)$ ser un espacio métrico compacto. Deje $f : X \rightarrow X$ ser continua. Fijar un punto de $x_0 \in X$, y se supone que $d(f(x), x_0)\geq1$ siempre $x\in X$ es tal que $d(x,x_0)=1$. Demostrar que $U\setminus f(U)$ es un conjunto abierto en $X$ donde $U=\{ x\in X: d(x,x_0) <1\}$.

Este es uno de los análisis de la qual pregunta. (Me voy a sentar en uno de cada dos días) Estoy teniendo problemas para visualizar el conjunto de la cuestión, cada vez que tengo este tipo de sentimiento, voy a tener grandes dificultades para responder a la pregunta. Alguna sugerencia? Gracias.

Answer 1

Sugerencia: La cosa a notar aquí es que todos los elementos $x\in \partial U$ satisfacer $d(x,x_0) = 1$. Así que por supuesto $f(x)\notin U$ todos los $x\in \partial U$. Esto implica entonces que el $f(\overline U) \cap U = f(U) \cap U$.

En general, si usted lee la condición de "$X$ compacto Hausdorff", una cosa en tu mente debe ser que todos los continua mapas se cierran automáticamente.