Prueba: $n^p < \frac{(n+1)^{p+1}-n^{p+1}}{p+1} < (n+1)^p$

Question

He editado el post para añadir al final de lo que, creo, es la de completar la prueba de estas desigualdades. Quiero pedir disculpas por no haber dado una respuesta tan pronto como las dadas por los usuarios que me dio pistas sobre este ejercicio. Me tomó un poco de tiempo, pero sus respuestas fueron muy útiles (:.

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Esto es en realidad la parte (b) del ejercicio. Tuve la oportunidad de probar estas desigualdades aplicando el Teorema del Binomio, pero no tengo ni idea de cómo hacerlo usando la parte (a), que voy a publicar aquí también.

(a) Deje $b$ ser un entero positivo. Probar que: $$b^p - a^p = (b-a)(b^{p-1}+ b^{p-2}a+b^{p-3}a^{2}+...+ba^{p-2}+a^{p-1})$$

(b) Deje $p$ $n$ denotar números enteros positivos. Use la parte (a) para mostrar que

$$n^p < \frac{(n+1)^{p+1}-n^{p+1}}{p+1} < (n+1)^p$$

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(a) Prueba:

$$\begin{split}b^p - a^p &= (b-a)(b^{p-1}+ b^{p-2}a+b^{p-3}a^{2}+...+ba^{p-2}+a^{p-1})\\ &= (b-a)\sum_{k=0}^{p-1}\big[b^{p-(k+1)}a^k\big]\\ &=\sum_{k=0}^{p-1}\big[b^{p-(k+1)+1}a^k- b^{p-(k+1)}a^{k+1}\big]\quad \Leftarrow \small{\text{Distribute }(b-a).}\\ &=\sum_{k=0}^{p-1}\big[b^{p-k}a^k- b^{p-(k+1)}a^{k+1}\big]\\ &=b^{p-0}a^0- b^{p-[(p-1)+1]}a^{(p-1)+1}\quad\Leftarrow \small{\text{Apply the telescoping property for sums.}}\\ &= b^p - a^p\end{split}$$

(b) Este es mi intento:

$$n^p < \frac{(n+1)^{p+1}-n^{p+1}}{p+1} < (n+1)^p$$

Multiplicando por $p+1$ hemos

$$(p+1)n^p < (n+1)^{p+1}-n^{p+1} < (p+1)(n+1)^p$$

que también se puede escribir como

$$(p+1)n^p < [(n+1)-n]\sum_{k=0}^{p}(n+1)^{p-(k+1)}n^{k} < (p+1)(n+1)^p\\ (p+1)n^p < \sum_{k=0}^{p}(n+1)^{p-(k+1)}n^{k} < (p+1)(n+1)^p$$

Mediante la división de las desigualdades por $(n+1)^p$ tenemos

$$(p+1)\left(\frac{n}{n+1}\right)^p < \sum_{k=0}^{p}\frac{n^k}{(n+1)^{k+1}} < (p+1)$$

Aquí estoy atascado. Supongo que el último paso no es necesario.

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Editar:

Este es mi último intento. Esperemos que no sea defectuoso.

Vamos a probar cada uno de los obligados por separado.

Para probar: $(p+1)n^p < (n+1)^{p+1}-n^{p+1}$

Prueba (directo):

Vamos a los números de $a$ $b$ se define como

$$a = n \quad \text{and}\quad b = n+1\qquad \text{For }n \in \mathbb{N}.$$

Entonces tenemos

$$a < b$$

Y sigue

$$\frac{a^p}{a^k} < \frac{b^p}{b^k}\quad \text{For } p\ \text{and }k\in\mathbb{N}, p \neq k. \qquad (1)$$

Multiplicando ambos lados por $a^k$ tenemos

$$a^p < b^{p-k}a^k$$

Tomando la suma de ambos lados tenemos

$$\sum_{k=0}^pa^p < \sum_{k=0}^pb^{p-k}a^k$$

En el LHS $a^p$ es resumida $p+1$ veces (de$0$$p$). Por lo que también puede ser escrito como

$$(p+1)a^p < \sum_{k=0}^pb^{p-k}a^k$$

Desde $b-a = 1$, vamos a multiplicar la RHS por $b-a$

$$(p+1)a^p < (b-a)\sum_{k=0}^pb^{p-k}a^k$$

Mediante la distribución de $b-a$ dentro de la suma tenemos

$$(p+1)a^p <\sum_{k=0}^p[b^{p-(k-1)}a^k - b^{p-k}a^{k+1}]$$

Y aplicando la propiedad telescópica de las sumas tenemos

$$\begin{align*}(p+1)a^p &< b^{p-(0-1)}a^0 - b^{p-p}a^{p+1}\\ (p+1)a^p &< b^{p+1} - a^{p+1}\\ (p+1)n^p &< (n+1)^{p+1} - n^{p+1}\end{align*}$$

lo que completa la prueba.

Para probar: $(n+1)^{p+1}-n^{p+1} < (n+1)^p$

Prueba (directo):

Por la definición de $a$ $b$ dado previamente y de la desigualdad $(1)$ hemos

$$\frac{a^p}{a^k} < \frac{b^p}{b^k}$$

Vamos a multiplicar ambos lados por $b^k$

$$a^{p-k}b^k < b^p$$

Vamos a tomar la suma de los dos lados

$$\sum_{k=0}^pa^{p-k}b^k < \sum_{k=0}^pb^p$$

En la RHS $b^p$ es resumida $p+1$ veces. Entonces

$$\sum_{k=0}^pa^{p-k}b^k < (p+1)b^p$$

Vamos a multiplicar el LHS por $1 = b-a$

$$\begin{align*}(b-a)\sum_{k=0}^pa^{p-k}b^k < (p+1)b^p\\ \sum_{k=0}^p[a^{p-k}b^{k+1}-a^{p-(k-1)}b^k] < (p+1)b^p\end{align*}$$

Y aplicando la propiedad telescópica de las sumas tenemos

$$\begin{align*}a^{p-p}b^{p+1}-a^{p-(0-1)}b^0 &< (p+1)b^p\\ b^{p+1}-a^{p+1} &< (p+1)b^p\\ (n+1)^{p+1}-n^{p+1} &< (p+1)(n+1)^p\end{align*}$$

lo que completa la prueba.

Parece que puedo ir a dormir sin remordimientos, ¿no? (:

Answer 1

$$b^{p+1} - a^{p+1} = (b-a)(b^{p}+ b^{p-1}a+b^{p-2}a^{2}+ \cdots+a^{p})$$ Substitute $$b=n+1,\,\,\,\,\,\,\,a=n$$ Then $$(n+1)^{p+1}-n^{p+1}=(n+1)^p+n(n+1)^{p-1}+n^2(n+1)^{p-2}+\cdots+n^p$$ Since $$n<n+1$$ we have $$(p+1)n^p<(n+1)^p+n(n+1)^{p-1}+n^2(n+1)^{p-2}+\cdots+n^p<(p+1)(n+1)^p.$$ Por lo tanto hemos terminado.

Answer 2

Como se han dado cuenta, lo que usted necesita demostrar que es equivalente a probar $$(p+1)n^p<[(n+1)^p+(n+1)^{p-1}n+\ldots+(n+1)n^{p-1}+n^p]<(p+1)n^{p+1}$$ Vamos a lidiar con estas desigualdades por separado. Desde $n+1>n$, cada término dentro de los corchetes es mayor que la de a $n^p$ (con la excepción de que el término final, que es igual a $n^p$). Hay $p+1$ términos dentro de los paréntesis, por lo que la suma es mayor que $(p+1)n^p$. Ahora hacemos el mismo argumento, excepto al revés, es decir,$n<n+1$, por lo que cada término de la suma es menor que $(n+1)^p$ a excepción de la primera. Por lo tanto la suma es menor que $(p+1)(n+1)^p$.

Answer 3

La desigualdad de $\dfrac{(n+1)^{p+1} - n^{p+1}}{p+1} < (n+1)^{p+1}$ es trivial. Usted obtener el lado izquierdo restando de la derecha y dividiendo por un número mayor que $1$.

Por otro lado, si el uso de la parte (a) usted tiene $$(n+1)^{p+1} - n^{p+1} = (1) \bigg((n+1)^p + (n+1)^{p-1}n + \cdots + (n+1)n^{p-1} + n^p\bigg).$$ Cada término de la derecha es $\ge n^p$, y $p+1$ de ellos. Por lo tanto $$(n+1)^{p+1} - n^{p+1} >(p+1)n^p.$$