Deje $E$ ser un Lebesgue medibles conjunto en $\mathbb{R}$. Demostrar que $$\lim_{x\rightarrow 0} m(E\cap (E+x))=m(E).$$
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clintp
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Recordemos que un Lebesgue medibles set $E$ se puede aproximar arbitrariamente bien por un número finito de la unión de distintos cerrado intervalos de $S=I_1\cup\ldots\cup I_n$, es decir, $\epsilon=m(E\Delta S)$ puede hacerse arbitrariamente pequeña. Así tenemos que $$\begin{align} |m(E\cap (E+x))-m(S\cap (S+x))|&\leq m((E\cap (E+x))\Delta(S\cap (S+x)))\\ &\leq m(E\Delta S)+m((E+x)\Delta(S+x))\\ &\leq 2m(E\Delta S) = 2\epsilon \end{align}$$ puede hacerse arbitrariamente pequeña, por lo que es suficiente para mostrar que $\lim\limits_{x\to 0} m(S\cap (S+x))=m(S)$. Tenga en cuenta que para suficientemente pequeño $x$, los intervalos de $I_i$ $I_j$ $i\ne j$ están separadas por más de $x$, lo $I_i\cap (I_j+x)=\emptyset$. Por lo tanto para suficientemente pequeño $x$ hemos $$S\cap (S+x)=(I_1\cap (I_1+x))\cup \cdots \cup (I_n\cap (I_n+x))$$ y cada conjunto en la unión es distinto. La observación de que el resultado deseado sostiene claramente por intervalos, tenemos $$\begin{align} \lim\limits_{x\to 0}m(S\cap (S+x))&=\lim\limits_{x\to 0}\sum\limits_{i=1}^nm(I_i\cap (I_i+x))\\ &= \sum\limits_{i=1}^n\lim\limits_{x\to 0} m(I_i\cap (I_i+x))\\ &= \sum\limits_{i=1}^nm(I_i)=m(S). \end{align}$$
Etienne
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La primera asume que el $m(E)<\infty$. En este caso se puede escribir $$m(E\cap (E+x))=\int_{\mathbb R} \mathbf 1_{E}(u)\mathbf 1_E(u-x)=\mathbf 1_{E}*\mathbf 1_{-E} (x)\, .$$ Desde $f=\mathbf 1_E\in L^1$ (debido a $m(E)<\infty$) y $g=\mathbf 1_{-E}\in L^\infty$, la convolución $f*g$ es un everyywhere definidas $continuous$ función. (Este es un trivial pero sabe muy bien hecho). De ello se desprende que $\lim_{x\to 0} m(E\cap (E+x))=\mathbf 1_{E}*\mathbf 1_{-E}(0)=\int_{\mathbb R} \mathbf 1_E(u)\mathbf 1_E(u)\, du=m(E)$.
Si $m(E)=\infty$, tenemos que demostrar que $m(E\cap (E+x))\to \infty$$x\to 0$. Escribir $E$$E=\bigcup_n E_n$, donde la secuencia de $(E_n)$ es creciente y $m(E_n)<\infty$ todos los $n$. A continuación, si ha $\liminf_{x\to 0} m(E\cap (E+x))\geq \liminf_{x\to 0} m(E_n\cap (E_n+x))=m(E_n)$ todos los $n$, lo $\liminf_{x\to 0} m(E\cap (E+x))\geq \sup_n m(E_n)=\infty$.
