En un artículo (papel) hay una descripción de un automorfismo exterior de $S_6$ . Hay seis pentágonos, dispuestos con una regla, con vértices $1,2,3,4,5$ . Cualquier permutación de estos vértices permuta los seis pentágonos, dando así un mapa (homomorfismo) de $S_5$ en $S_6$ .
Entendí este mapa de la siguiente manera: si intercambiamos los vértices, los pentágonos serán permutables. Considere la permutación $(2 \,3)$ y su efecto en el primer pentágono a en el nota .
(1) En a vértices $2,3$ no están unidos por un "borde continuo", por lo que después de permutar $2,3$ no debe haber un borde continuo entre $2,3$ . De ahí la imagen de a después de esta permutación será a, d o f (¿estoy en lo cierto?). Además, el 5 está unido a ambos $2,3$ antes de la permutación, por lo tanto después de la permeación $2,3$ vértice $5$ debe ser adyacente a ellos. Podemos concluir que a está mapeado para a por permutación $(2\,3)$ .
(2) La otra forma, en a , $2,3$ no están unidos por un borde continuo antes de la permutación $(2\,3)$ . Por lo tanto, después de permitir $2,3$ , a se cartografiaría en o bien a, d o f . También, $4$ se une a $2$ pero no $3$ antes de permitir $2,3$ después de haber permitido $2,3$ el vértice $4$ se unirá a $3$ pero no $2$ por lo tanto, la imagen de a por permutación $(2\,3)$ debería ser d .
No pude encontrar mi error de comprensión, si es que lo hubo.
¿Se puede explicar la acción de $S_5$ en los seis pentágonos del artículo?
