Dejemos que
$g :=$ forma bilineal simétrica : $g(v,w) := \omega(v,Jw)$ con $J \in \textrm{O}(V,g)$ y $\omega := $ forma bilineal sesgada-simétrica : $\omega(v,w) := g(v,Jw)$ con $J \in \textrm{Sp}(v,\omega)$ .
$J$ se define como una estructura casi compleja tal que $J \in \textrm{O}(V,g) : J^2 = -\textrm{id}$ .
La forma normal de las formas bilineales se define como $$J_{2r} = \begin{pmatrix} 0 & I_r \\ -I_r & 0 \end{pmatrix} \qquad \textrm{or} \qquad J_{2r} = \textrm{diag} \left( \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0\end{pmatrix},...,\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0\end{pmatrix} \right) $$
También sabemos que la igualdad $B = A \cdot C$ para $A$ la matriz gramiana asociada a la base $(v_i)$ de $g$ , $B$ la matriz asociada a $\omega$ y $C$ la matriz asociada a $J$ .
Demuestre que existe una base $(v_i)$ de la $n$ -dimensional $\mathbb R$ espacio vectorial $V$ tal que las matrices gramianas para la forma bilineal simétrica no degenerada $g$ y la forma simpléctica $\omega(,) := g( ,J())$ tienen forma normal y demuestran que $g(J(), )$ define también una estructura simpléctica. ¿Cuál es la relación de $g(J(), )$ a $\omega$ ?
Así que $g$ y $\omega$ son inversos entre sí y como $g$ es no degenerado, $\omega$ también es no degenerado (se deduce del pequeño lema).
Para demostrar que $g(J(), )$ también define una estructura simpléctica, traté de demostrar que $g(Jv,w) = -g(Jw,v)$ :
$$g(Jv,w) \overset{\text{J orthogonal}}{=} g(J^2v, Jw) = g(-v, Jw) = -g(v, Jw) \overset{\text{g symmetric}}{=} -g(Jw, v).$$
Así que $g$ es alternativo y como no es degenerado por suposición es simpléctico, pero ¿cómo demostrar la existencia de la base? ¿Alguien puede ayudar?
