Es este un método válido de resolución de $3^x + 2^x = 35$?

Question

Quiero saber si este es un método válido de la solución de esta ecuación:

$3^x + 2^x = 35$

$3^x+2^x = (7)(5)$

$3^x+2^x = (3+2^2)(2+3)$

$3^x+2^x = 3^2 + 2^3 + 18$

$3^x+2^x = 9 + 18 + 2^3 $

$3^x+2^x = 27 + 2^3 $

$3^x+2^x = 3^3 + 2^3 $

Y ahora viene mi problema. ¿Es correcto decir que esta última ecuación implica $x=3$? No creo que sólo puedo comparar términos como era un polinomio...

Si esto no es correcto, hay una manera de resolver esta ecuación algebraica?

Answer 1

Sí, es un método válido de la producción de una solución. Un argumento adicional puede ser llamada para mostrar que no hay otras soluciones. Por ejemplo, se podría argumentar que $3^x+2^x$ es un uno-a-uno de la función.

¿Cómo se llama el método utilizado, en comparación con el "algebraica"?

En general, no hay "instantánea" maneras de resolver este tipo de ecuaciones. El hecho de que fueron capaces de resolverlo de una manera tan agradable es muy especial. Considere, por ejemplo, la ecuación

$$3^x+2^x=36.21923341032$$

Sabemos que no es una solución única, (usando el valor medio teorema de, por ejemplo), pero no hay manera de generar en forma cerrada, o de cualquier otra forma, excepto los de la aproximación numérica.

Answer 2

$3$ es una única raíz debido a $f(x)=3^x+2^x$ es una función creciente y $f(3)=35$.

Answer 3

La afirmación es equivalente a $$ f(x)=f(3)\implica x=3 $$ donde $f(x)=3^x+2^x$. Esto es cierto porque las $f$ es inyectiva (pues es estrictamente creciente, por ejemplo).

Answer 4

Como otros han señalado, $x=3$ es la única solución en los números reales. Sin embargo, hay infinitamente muchas soluciones complejas. Por ejemplo, hay una solución cerca de $3.40258654642902+5.90727700642090 i$.