Cómo expresar $f(n\alpha)$ en términos de $f(\alpha)$

Question

Pregunta Original: Let' $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ ser una función definida por $f(x)=\dfrac{a^x-a^{-x}}{2}$ donde$a>0$$a\ne 1$, e $\alpha$ ser un número real tal que $f(\alpha)=1$. Encontrar $f(2\alpha)$.$^1$

Hace un par de años, yo era un estudiante de la escuela secundaria y la resolvió. Ahora me estoy leyendo el libro de nuevo, porque me ha empezado a dar clases a mi prima desde la semana pasada. Cuando volví a la pregunta, de repente quise encontrar $f(2\alpha)$, $f(3\alpha)$, $f(4\alpha),\;\dots$ \begin{align} f(2\alpha)&=\frac{a^{2\alpha}-a^{-2\alpha}}{2}\\ &=\frac{(a^{\alpha}-a^{-\alpha})(a^{\alpha}+a^{-\alpha})}{2}\\ &=f(\alpha)\sqrt{a^{2\alpha}+2+a^{-2\alpha}}\\ &=f(\alpha)\sqrt{(a^{\alpha}-a^{-\alpha})^2+4}\\ &=f(\alpha)\sqrt{4(f(\alpha))^2+4}\\ f(3\alpha)&=f(\alpha)(4(f(\alpha))^2+3)\;(\text{calculations skipped})\\ f(4\alpha)&=f(\alpha)(4(f(\alpha))^2+2)\sqrt{4(f(\alpha))^2+4} \end{align}

Mi pregunta: ¿Podemos expresar $f(n\alpha)$ en términos de $f(\alpha)$? (Aquí se $f(\alpha)$ no es necesariamente $1$.)

Intento: se sabe que $x^n - y^n = (x-y)(x^{n-1}+x^{n-2}y+x^{n-3}y^2+\cdots+y^{n-1})$$n\in \mathbb{N}$, por lo que $$f(n\alpha)=\frac{a^{n\alpha}-a^{-n\alpha}}{2}=\frac{(a^{\alpha}-a^{-\alpha})(a^{(n-1)\alpha}+a^{(n-3)\alpha}+\cdots+a^{(3-n)\alpha}+a^{(1-n)\alpha})}{2}.$$ Sin embargo, $(a^{(n-1)\alpha}+a^{(n-3)\alpha}+\cdots+a^{(3-n)\alpha}+a^{(1-n)\alpha})$ plazo es molesto conmigo. Creo que va a ser $2(f((n-1)\alpha)+f((n-3)\alpha)+\cdots+?)$, pero no tengo idea de cómo hacer a continuación.

Solución parcial es también apreciado.

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$^1$ Fue traducido del coreano al inglés por mí. Referencia: Sunwook Hwang y 12 otros autores (2010)."수학ⅰ 익힘책". Seúl: (주)좋은책신사고. la página 62.

Answer 1

Podemos reescribir la función como

$$f(x)=\sinh(x\ln a)$$

a continuación, $f(nx)=\sinh(nx\ln a)$

vamos, $x\ln a=t$, $f(t)=\sinh(t)$ $f(nt)=\sinh(nt)$ también, $\cosh(t)=\sqrt{1+f(t)^2}$

Por último, utilice el hecho de que $$\sinh(nt)=\dfrac{(\cosh(t)+\sinh(t))^n-(\cosh(t)-\sinh(t))^n}{2}$$

Answer 2

De $f(\alpha)=\frac{a^\alpha - a^{-\alpha}}{2}$, que puede inducir la ecuación cuadrática para $a^{\alpha}$: $$ a^{2\alfa}-2f(\alpha)^{\alpha}-1=0. $$ Por la fórmula cuadrática, obtenemos $$ a^{\alpha}=f(\alpha)\pm \sqrt{(f(\alpha))^2+1} $$ y el uso de $a^{\alpha}>0$ eliminamos una posibilidad. Así $$ a^{n\alpha}=(a^{\alpha})^n =\left(\sqrt{f(\alpha)^2+1} + f(\alpha)\right)^n $$ y \begin{align} a^{-n\alpha}&=\frac{1}{\left(\sqrt{f(\alpha)^2+1} + f(\alpha)\right)^n}\\ &=\frac{\left(\sqrt{f(\alpha)^2+1} - f(\alpha)\right)^n}{\left(\sqrt{f(\alpha)^2+1} + f(\alpha)\right)^n\left(\sqrt{f(\alpha)^2+1} - f(\alpha)\right)^n}\\ &=\frac{\left(\sqrt{f(\alpha)^2+1} - f(\alpha)\right)^n}{(f(\alpha)^2+1-f(\alpha)^2)^n}\\ &=\left(\sqrt{f(\alpha)^2+1} - f(\alpha)\right)^n. \end{align} Por lo tanto $$ f(n\alpha)=\frac{1}{2}\left(\left(\sqrt{f(\alpha)^2+1} + f(\alpha)\right)^n -\left(\sqrt{f(\alpha)^2+1} - f(\alpha)\right)^n\right) $$ La comprobación de la fórmula para $n=2$: \begin{align} f(2\alpha)&=\frac{1}{2}\left(\left(\sqrt{f(\alpha)^2+1} + f(\alpha)\right)^2 -\left(\sqrt{f(\alpha)^2+1} - f(\alpha)\right)^2\right)\\ &=\frac{1}{2}(f(\alpha)^2+1+2f(\alpha)\sqrt{f(\alpha)^2+1} + f(\alpha)^2 -f(\alpha)^2-1+2f(\alpha)\sqrt{f(\alpha)^2+1}-f(\alpha)^2)\\ &=\frac{1}{2}\cdot 4f(\alpha)\sqrt{f(\alpha)^2+1}\\ &=2f(\alpha)\sqrt{f(\alpha)^2+1} \end{align}

Answer 3

Deje $a^x = y$, $y$ puede ser resuelto en términos de los RHS. Deje $f(\alpha) = A$, a partir de:

$$ y - \frac{1}{y} = 2A $$ con la raíz cuadrática fórmula, tenemos $$y = g(A) = A + \sqrt{1 + A^2}$$ Después de esta es una cuestión de la sustitución y la simplificación: $$ f(n \alpha) = \frac{1}{2} (g(A)^n - g(A)^{-n}) $$

Answer 4

Desde algebraicas punto de vista, podemos relacionar esto con la función de la factorización prima.

Lema: $gcd(f(n\alpha), f(m\alpha)) = 2f(gcd(n,m)\alpha)$

$f(n\alpha)=\frac{a^{n\alpha}-a^{-n\alpha}}{2} = \frac{a^{2n\alpha}-1}{2a^{n\alpha}}$ .

Prueba: Para ser escrito.

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