Derivado de la $f(x) = |x|^2 - 2\langle a, x \rangle$

Question

Definir la función de $f\colon \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}$ $f(x) = |x|^2 - 2\langle a , x \rangle$ donde $a \in \mathbb{R}^n$ es distinto de cero. Tenemos:

$$f(x + h) - f(x) = |x+h|^2 - 2\langle a, x + h\rangle - |x|^2 + 2\langle a, x\rangle \\ = |h|^2 - 2\langle x, h\rangle - 2\langle, h\rangle$$

Y así tenemos a $Df(x)(h) = -2\langle x, h\rangle -2\langle a, h\rangle$. El único punto crítico es $x = -a$, y dado que el $D^2f(x)(h, h) = -2|h|^2 < 0$, este punto crítico es un maxima.

Pero ahora veamos el caso particular donde$n = 2$$a = (1, 0)$. Tenemos $f(x, y) = x^2 + y^2 - 2x$. Es derivada está dada por:

$$f'(x, y) = \begin{pmatrix}2x - 2 & 2y \end{pmatrix}$$

Esto tiene un punto crítico en $x = 1$$y = 0$. También, tenemos:

$$f"(x, y) = \begin{pmatrix}2 & 0 \\ 0 & 2 \end{pmatrix}$$

Esta matriz es positiva definida, por lo que el punto crítico es en realidad un mínimos. Lo que está mal con el caso general?

Answer 1

Usted hizo una señal de error. De hecho, $x \mapsto |x|^2$ es una forma cuadrática, por lo que su derivada es $h \mapsto 2\langle x,h \rangle$.

El segundo término es lineal, y que coincide con su derivada. Por lo tanto $$Df(x) \colon h \mapsto 2\langle x,h \rangle - 2\langle,h \rangle.$$