Definir la función de $f\colon \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}$ $f(x) = |x|^2 - 2\langle a , x \rangle$ donde $a \in \mathbb{R}^n$ es distinto de cero. Tenemos:
$$f(x + h) - f(x) = |x+h|^2 - 2\langle a, x + h\rangle - |x|^2 + 2\langle a, x\rangle \\ = |h|^2 - 2\langle x, h\rangle - 2\langle, h\rangle$$
Y así tenemos a $Df(x)(h) = -2\langle x, h\rangle -2\langle a, h\rangle$. El único punto crítico es $x = -a$, y dado que el $D^2f(x)(h, h) = -2|h|^2 < 0$, este punto crítico es un maxima.
Pero ahora veamos el caso particular donde$n = 2$$a = (1, 0)$. Tenemos $f(x, y) = x^2 + y^2 - 2x$. Es derivada está dada por:
$$f'(x, y) = \begin{pmatrix}2x - 2 & 2y \end{pmatrix}$$
Esto tiene un punto crítico en $x = 1$$y = 0$. También, tenemos:
$$f"(x, y) = \begin{pmatrix}2 & 0 \\ 0 & 2 \end{pmatrix}$$
Esta matriz es positiva definida, por lo que el punto crítico es en realidad un mínimos. Lo que está mal con el caso general?
