Probando si $|a|_p=1$ $a$ es invertible en a $\mathbb{Z}_p$

Question

Me decidí a echar un vistazo $p$-ádico enteros. Estoy tratando de mostrar que $$a \in \mathbb{Z}_p \text{ is invertible if and only if } |a|_p=1$$ donde $$|x|_p= \left\{ \begin{array}{ll} p^{-n} & \mbox{if } x\neq0 \\ 0 & \mbox{if } x=0 \end{array} \right.$$ donde $n=\min\{ m \geq 0 : x_n\neq0\}$ y $$x=x_0+x_1p+x_2p^2+\cdots.$$

El "adelante" de la dirección es muy fácil. Estoy teniendo problemas para ir hacia atrás. Lo que he estado tratando de hacer es construir la inversa de a $a$ y tentativamente estoy llamando a la inversa de $a$ $b=b_0+b_1p+\cdots.$ tengo que $b_0=a_0^{-1}$, obviamente, y como $|a|_p=1$ es de la siguiente manera $a_0\neq0$, por lo que tiene una inversa modulo $p$, lo cual era necesario. Mi objetivo es mostrar que: $$\text{For all $m\geq0,$ } 1=\left[\left(\sum_{i=0}^m a_ip^i\right)\left(\sum_{i=0}^m b_ip^i\right)\right] \mod{p^{m+1}} \qquad \text{(1)}$$ Estoy haciendo esto por mi cuenta y he estado teniendo algunos problemas para formular (al menos para mí) buen sonido de maneras para expresar lo que tengo que demostrar, en términos de los lemas y de las cosas, establecer $(1)$.

Aproximadamente, he estado tratando de mostrar: $Lemma$. Dado $b_0,b_1,\cdots,b_k \in \{0,1,\cdots,(p-1)\}$ que satisfacer $$1=\left[\left(\sum_{i=0}^k a_ip^i\right)\left(\sum_{i=0}^k b_ip^i\right)\right] \mod{p^{k+1}} \qquad\text{(2)}$$ Puedo encontrar una $b_{k+1}$ que hace la siguiente afirmación verdadera: $$1=\left[\left(\sum_{i=0}^{k+1} a_ip^i\right)\left(\sum_{i=0}^{k+1} b_ip^i\right)\right] \mod{p^{k+2}}\qquad\text{(3)}$$ Esto es lo que he estado trabajando con y la búsqueda de un $b_1$ no fue difícil, yo elegí $b_1 \in \{0,1,\cdots,(p-1)\}$$b_1 \equiv -a_1a_0^{-2}\mod p$, que me pareció ser equivalente al tipo de caso de $k=0$ por el Lema. Yo estaba tratando de hacer esto por inducción, pero he encontrado una especie de lío y no hay una declaración que necesito para ser cierto, que supongo que no es cierto en general, a saber, que $g\equiv1\mod p^k$$g\equiv1\mod p^{k+1}$, al menos, que me ayudara a salir. No creo que esto es cierto en todos en general, ya que no es el contraejemplo de $126\equiv1\mod 5^3$ pero $126\equiv 126\not\equiv 1 \mod 5^4$. Tal vez hay más condiciones que necesita para estar en esta $g$. De todos modos, hay otra manera de que pueda hacer esto?

Lo siento por el largo de escribir, que puede o no puede ayudar a dar una idea de lo que estoy tratando de hacer etc..Gracias

Answer 1

No es necesario calcular los dígitos real de la inversa, sólo para mostrar que existe. Su método de argumento a pesar de que se vuelve importante cuando se trata de Hensel del lexema en el futuro cercano.

Desde $p\nmid x$, es claro que $x$ es invertible mod $p^k$ por cada $k\ge0$. Deje $a_k$ ser una secuencia de números enteros que son inversos para $x$ mod $p^k$. Puede mostrar a $(a_k)$ es una secuencia de Cauchy? Esto implica que converge a algunos $a\in{\bf Z}_p$, y luego usted puede mostrar que $ax=1$${\bf Z}_p$. Sugerencias:

• $|x|_p=1\implies |a_n-a_m|_p=|a_nx-a_mx|_p$
• $a_nx\equiv 1\equiv a_mx$ mod $p^n$ al $n\le m$
• $ax\equiv a_kx\equiv 1$ mod $p^k$

Si usted desea, usted puede demostrar que $a_n\equiv a_m\bmod p^n$ al $n\le m$; esto demuestra que los "dígitos" de $a_n$ sólo se han añadido a; los "segmentos inicial" de dígitos nunca se alteran.

Estoy asumiendo que usted ha construido ${\bf Z}_p$ como el límite inversa de a ${\bf Z}/p^n{\bf Z}$ o ${\bf Z}[T]/(T-p)$, ambas rutas rápidamente dando permiso para que la única $p$-ádico expansiones de todos los $p$-ádico enteros y continua anillo cociente mapas de ${\bf Z}_p\to{\bf Z}/p^k{\bf Z}$ todos los $k\ge0$.

Desde ${\bf Z}_p$ es una parte integral de dominio, tiene una fracción de campo, denotado ${\bf Q}_p$. Se puede observar que la relación $|a/b|_p=|a|_p/|b|_p$ permite que el $p$-ádico de valoración se extienda a todos los de ${\bf Q}_p$. Desde allí podemos demostrar que ${\bf Q}_p\cong{\bf Z}_p[p^{-1}]$ todos los $p$-ádico de números de $p$-ádico expansiones. Alternativamente, podríamos haber definido ${\bf Q}_p$ a ser la métrica de la finalización de $\bf Q$ con respecto al $p$-ádico métrica.

Si tenemos ${\bf Q}_p$ disponible como un valor de campo, la prueba es mucho más rápido: $|x|_p=1$ implica $|x^{-1}|_p=1$ implica $x^{-1}\in{\bf Z}_p$ implica $x$ es invertible en a ${\bf Z}_p$.

Answer 2

A mí me parece que se puede construir la inversa de $$x=x_0+x_1p+x_2p^2+\cdots$$ mediante el método habitual (multiplicatively) que la inversión de un de potencia de la serie, donde el álgebra se lleva a cabo mod $p$. En el libro "Tablas de Integrales, Series, y de los Productos" por Gradshteyn y Ryzhik (1980 Académico de Prensa), existe una fórmula para la división de una potencia de serie por otro que, cuando especializados para el numerador de ser simplemente $1$, da el recíproco de una serie de $\sum_{k=0}^{\infty} a_kx^k$ $(1/a_0)\sum_{k=0}^\infty c_kx^k$ donde $n>0$ $$c_n+\frac{1}{a_0}\sum_{k=1}^nc_{n-k}a_k.$$ (Estoy bastante seguro de $c_0=1$ en esta, a pesar de que no estaba indicado en la referencia.) Esto permite que los sucesivos determinación de los coeficientes de la matriz inversa.

Hay una interesante fórmula explícita para $c_n$ (en este caso donde el numerador de la serie es $1$) da el valor de $c_n$ en términos de un múltiplo de una banda de la matriz. Deje $M$ el valor del $n \times n$ banda de la matriz de tener 0 encima de la superdiagonal, y los números de $a_0,a_1,\cdots a_n$ como banda constantes, respectivamente, el superdiagonal, la diagonal principal, la subdiagonal, etc. hasta el último plazo $a_n$ aparece en la parte inferior izquierda de $M$ (una diagonal de longitud 1). Entonces la fórmula es $$c_n=\frac{(-1)^n}{a_0^n}|M|,$$where the bars on $M$ significan determinante.

Desde esta expresión parece tener para invertir formal de polinomios sobre un campo, se debe trabajar en la $p$ adic caso. [Por supuesto, su $x_k$ están aquí las $a_k$ e su $p^k$ convertido en el $x^k$ en la serie de la inversión de la fórmula.]

NOTA: ahora estoy de acuerdo con un comentario por el usuario1 que este método no funciona bien en dar a la inversa. Por una parte está el asunto de llevar en el p adics, por lo que incluso con el entero $|M|$ en un dígito implicaría que se derrame sobre el lado superior de la secuencia de potencias de $p$; uno podría comenzar en el extremo inferior de este y sería tedioso. La presencia de signos negativos también pueden ser un problema. Finalmente, la división por $a_0^n$ supondría conseguir que la reciprocidad como un p adic y multiplicando a través de.

Por estas razones, considero probable que borrar esta respuesta, a menos que alguien piensa que puede ser rescatado de alguna manera.

Otro comentario por anon da exactamente lo que está sucediendo aquí. El método anterior da una representación de la inversa, pero no la canónico en el que los dígitos están en $\{0,1,...,p-1\}$. Lo que el poder de la serie inversa da, después de la variable se sustituye por $p$, es una serie cuyos coeficientes son ordinario (entero) de las fracciones, que no representa la inversa, pero es muy incómodo para poner en la forma canónica.