Si $a_n$ $b_n$ son secuencias equivalentes y $a_n$ es acotado, entonces también lo es $b_n$.

Question

Esto es lo que yo sé;

Si $(a_n)$ es una secuencia infinita de la que es acotado, entonces podemos decir;

$|a_i| < M$ todos los $i \geq 0.$

desde $a_n$ $b_n$ son secuencias equivalentes, podemos decir que para cada racional $\epsilon >0$ existe $N \geq 0$ tal que

$|a_i-b_i| < \epsilon$ todos los $i \geq N$.

Me gustaría mostrar que $b_n$ está acotada.

ahora con el triángulo de la desigualdad obtenemos,

$|b_i| = | b_i - a_i + a_i| \leq |b_i - a_i| + |a_i| \leq \epsilon + M$

y, por tanto, la sucesión es acotada arriba por $M' = max\{\epsilon, M\}$.

Me siento como que hay algo que falta en el extremo, podría alguien echar una mano por favor.

Answer 1

Desde $a_n$ $b_n$ son secuencias equivalentes, podemos decir que para cada racional $1 \geq \epsilon >0$ existe $N \geq 0$ tal que

$|a_i-b_i| < \epsilon$ todos los $i \geq N$.

...A continuación, $b_n$ $n \geq N$ será delimitada por $M' := M+1$.

Por lo $b_n$ está delimitado por $\max \{|b_1|,\dots,|b_{N-1}|, M+1\}$