Yo estaba tratando de calcular el área de la superficie de la parte de una esfera. El resultado parece contra-intuitivo. He encontrado que el área de la superficie de una esfera aumenta linealmente.
Considere el círculo, el centro de $(r,0)$ y radio de $r>0$. Esto ha ecuación de $(x-r)^2 + y^2 = r^2$. Para $y>0$, podemos escribir $y$ como una función de la $x$. El cálculo directo muestra que $y(x) = \sqrt{2rx-x^2}$ todos los $0 < x < 2r$.
La fórmula habitual para la rotación de la gráfica de una curva (dada como una función de la $x$) alrededor de la $x$-eje para encontrar el área de la superficie de revolución es $$A = 2\pi \int_{x_1}^{x_2} y\sqrt{1+(y')^2} \, \mathrm{d}x$$
En mi caso, tengo los límites de $x_1=0$$x_2=h \le 2r$. Tenemos $$\begin{eqnarray*} A &=& 2\pi \int_0^h \sqrt{2rx-x^2}\sqrt{1+\frac{(r-x)^2}{2rx-x^2}} \, \mathrm{d}x \\ \\ \\ &=&2\pi\int_0^h \sqrt{2rx-x^2}\sqrt{\frac{r^2}{2rx-x^2}} \, \mathrm{d}x \\ \\ \\ &=&2\pi\int_0^h r\, \mathrm{d}x \\ \\ \\ &=&2\pi r h \end{eqnarray*}$$
Esto le da dos resultados correctos: al $h=0$ tenemos $A=0$ e al $h=2r$ tenemos $A=4\pi r^2$. Sin embargo, esto parece contra-intuitivo que el área debe ser una función lineal en $h$. Por ejemplo, supongamos $B(a,b)$ ser el "cinturón" delimitada por $x=a$$x=b$. Dos bandas de la misma anchura deben tener diferentes áreas de superficie dependiendo de cómo cerrar sus centros a $x=r$. Seguramente?
