Continuidad de la norma de $L_p$ $p$ $\varepsilon$$\delta$definición

Question

Suponga que $\|f\|_p< \infty$$1\le p<\infty$. En esta pregunta se demostró que $$ g(p)=\|f\|_p $$ es continua en a $p \ge 1$. La técnica fue el uso Dominante teorema de Convergencia.

El uso de $\varepsilon$-$\delta$ el lenguaje, lo que esto significa es que para cualquier $\varepsilon>0$ no es un porcentaje ($\delta>0$tal que para todos los $|q-p| < \delta(\varepsilon)$ implica que $$ \left | \|f\|_p-\|f\|_q \right| \le \varepsilon $$

Mi pregunta la siguiente. Podemos caracterizar $\delta(\varepsilon)$ más explícitamente, en el plazo de $\varepsilon$ y tienen una expresión para $\delta$?

Observador, que $\delta$ probablemente debería ser una función de la $p$ así, de lo contrario no creo que es posible.

Answer 1

He aquí un super-suave respuesta. Arreglar una función medible $f$ tal que $f\in L^p$ para todos los $p\in (p_-, p_+)$ ($p_+$ posiblemente $\infty$). Vamos $$\Phi\left(\frac 1 p\right)=\left[ \int \lvert f\rvert^p\right]^\frac{1}{p}.$$ Esta función $\Phi$ es log-convexa en el intervalo de $\left(\frac1{p_+}, \frac1{p_-}\right)$, lo que significa que se satisface la siguiente desigualdad: $$ \Phi\left( (1-\alpha)\frac1{p_1} + \alpha \frac1{p_2}\right)\le \Phi\left(\frac1{p_1}\right)^{1-\alpha}\Phi\left(\frac{1}{p_2}\right)^{\alpha}$$ donde$p_1, p_2\in (p_-, p_+)$$\alpha\in [0, 1]$. (Esta desigualdad es una consecuencia de Hölder la desigualdad y ofrece una alternativa a prueba de la continuidad de la $\|f\|_p$ con respecto al $p$).

Ahora cualquier log-convexa de la función es convexa y cualquier convexo función de Lipschitz en compacto subintervalos de su intervalo de definición (se dice que es localmente Lipschitz). Por lo $\Phi$ es localmente Lipschitz en $\left(\frac1{p_+}, \frac1{p_-}\right)$, lo que significa que

$$ \left\lvert \|f\|_{L^{p_1}} - \|f\|_{L^{p_2}}\right\rvert \le C_{f, I}\left\lvert \frac1{p_1} -\frac1{p_2}\right\rvert,\qquad \forall p_1, p_2\in I$$ donde $I\subset (p_-, p_+)$ es un intervalo compacto.