Demostrar que si $\langle df_x(v),v\rangle>0$, entonces el $f$ es inyectiva

Question

Supongamos que es de $f:\mathbb R^n\to \mathbb R^n$ $\mathcal C^1$ mapa tales que $\langle df_x(v),v\rangle>0$ % todo $x\in \mathbb R^n$y $v\in R^n\setminus {0}$. Demostrar que $f$ es inyectiva. Sugerencia: $x\ne 0, $ considerar $g:\mathbb R\to \mathbb R^n$ de $g(t)=f(tx)$. $g'(t)$ Y la demostración que $f(x)\ne f(0)$.

Que $x=(x_1,\dots,x_n)$. Para calcular $g'(t)=dg_t$, que $g$ es la composición de $h:\mathbb R\to \mathbb R^n$de % de $t\mapsto tx$ y $f$. Por la regla de la cadena, $dgt=df{tx}\cdot dh_t$ como matrices. Ahora $dh_t=[x_1,\dots,xn]^t,df{tx}=[D_if_j]$, donde $f=(f_1,\dots,f_n)$, que $$dg_t=[D_1f_1(tx)x_1+\dots+D_1f_n(tx)x_n,\dots, D_nf_1(tx)x_1+\dots +D_nf_n(tx)x_n]^t.$ $

Inyectabilidad significa que $g(0)=f(x)\ne 0$ si $x\ne 0$. ¿Qué tiene que ver con la inyectabilidad? ¿Cómo utilizar la desigualdad dada?

Answer 1

Así $g=f \circ h$. $h$ es lineal. Por lo tanto, su derivada en cada punto es sí mismo. Lo que significa que para cada $t$ $h^\prime(t)$ es el mapa real $h^\prime(t): u\mapsto ux$.

Por lo tanto usando la regla de la cadena, tenemos:

$$g^\prime(t) =f^\prime(tx).x$$

Ahora consideremos $G(t)= \langle g(t), x \rangle$. derivado de $G$ es $$G^\prime(t) = \langle g^\prime(t),x\rangle = \langle f^\prime(tx).x,x\rangle $ $

que es estrictamente positivo $x \neq 0$ según la hipótesis $\langle f^\prime(y).v,v\rangle >0$

Entonces $$\langle f(x)-f(0),x\rangle = G(1)-G(0)=\int _0^1 G^\prime(t) \ dt>0$ $

que permite para concluir que $f(x)\neq f(0)$. Se deduce la inyectabilidad de $f$ cambiando $g(tx)$ $g(t(y-x)+x)$.