Kahler diferencias y Diferenciales Ordinarias

Question

Cuál es la relación entre Kahler diferencias y diferenciales ordinarias formas?

Answer 1

Hay una discusión de este tema en el $n$-categoría de café. Me gustaría animar a las personas que estaban interesadas en esta pregunta a la cabeza más y ver si se puede prestar un poco de perspicacia.

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Aquí es un boceto de una prueba de que $d (e^x) \neq e^x dx$ en el Kahler diferenciales de $C^{\infty}(\mathbb{R})$. En general, se debe ser capaz de demostrar que, si $f$ y $g$ se $C^{\infty}$ con funciones no polinómicas relación entre ellos, entonces $df$ y $dg$ son algebraicamente independientes, pero no he pensado en cada detalle.

Elija cualquier secuencia de puntos de $x_1$, $x_2$ en $\mathbb{R}$, tendiendo a $\infty$. En el interior del anillo $\prod_{i=0}^{\infty} \mathbb{R}$, vamos que $X$ y $e^X$ ser las secuencias $(x_i)$ y $(e^{x_i})$. Elegir un nonprincipal ultrafilter en el $x_i$ y dejar que $K$ ser el correspondiente cociente de $\prod_{i=0}^{\infty} \mathbb{R}$.

$K$ es un campo. Dentro de los $K$, los elementos de $X$ y $e^X$ no obedece a ningún polinomio relación con coeficientes reales. (Porque, para cualquier valor distinto de cero el polinomio de $f$, $f(x,e^x)$ sólo tiene un número finito de ceros.) Elija una trascendencia base, $\{ z_a \}$, $K$ más de $\mathbb{R}$ y dejar que $L$ a ser el campo de $\mathbb{R}(z_a)$.

Cualquier función $\{ z_a \} \L$ se extiende a una única derivación $L \L$, trivial en $\mathbb{R}$. En particular, podemos encontrar $D:L \L$, de modo que $D(X)=0$ y $D(e^X) =1$. Desde $K/L$ es algebraica y de característica cero, $D$ se extiende a una única derivación $K \K$. Tomando la composición de $C^{\infty} \K \K$, tenemos una derivación $C^{\infty}(\mathbb{R}) \a K$ con $D(X)=0$ y $D(e^X)=1$. Por la característica universal de la Kahler diferenciales, esta derivación de los factores a través de la Kahler diferenciales. Así que hay un cociente de la Kahler diferenciales de donde $dx$ hace $0$ y $d(e^x)$ no, por lo que $dx$ no dividir $d(e^x)$.

Estoy de viaje y no puede proporcionar referencias para la mayoría de los hechos que yo estoy usando aobut derivaciones de los campos, pero yo creo que esto es todo en el apéndice a Eisenbud del Álgebra Conmutativa.

Answer 2

ACTUALIZACIÓN de La respuesta anterior que estuvo aquí fue casi completamente equivocado. Gracias a Georges para varias correcciones. Animo a todo el mundo a votar mi respuesta hacia abajo y su seguridad.

Si $M$ es un $C^{\infty}$ colector y $Una$ es el anillo $C^{\infty}(M)$ entonces existe un natural mapa de la Kahler diferenciales de $\Omega_{A/\mathbb{R}}$ a $C^{\infty}$ una-formas. Este es surjective pero lejos de ser inyectiva. Por ejemplo, $d \sin x \neq \cos x dx$ en el Kahler diferenciales. El problema básico es que Kahler diferenciales son sólo lineal para finito de sumas de dinero, por lo que no pueden "ver" nonpolynomial relaciones.

Si reemplaza $C^{\infty}$ por el complejo de analítica y $M$ es un abierto simplemente conectado establecido en $\mathbb{C}^n$, entonces el Kahler diferenciales mapa a la holomorphic $(1,0)$-formas. Esto es cierto para cualquier complejo colector de si se interpreta como una declaración acerca de las poleas; deje de $\mathcal{H}$ se la gavilla de holomorphic funciones y definir la gavilla de Kahler diferenciales por sheafifying la presheaf $U \mapsto \Omega_{\mathcal{H}(U)/\mathbb{C}}$; a continuación, tenemos de nuevo un mapa de Kahler diferenciales para holomorphic $(1,0)$ formularios.

En la geometría algebraica, si $M$ es un buen complejo variedad algebraica, por lo general se considera que la gavilla conseguido por sheafifiying la presheaf $U \mapsto \Omega_{\mathcal{S}(U)/\mathbb{C}}$. (Ahora estamos usando la topología de Zariski.) Estos son, por definición, la algebraicas $(1,0)$ formularios. No son isomorfos a la holomorphic $(1,0)$ formas, pero, si $M$ es proyectiva, que tienen el mismo cohomology por GAGA.

Answer 3

Hola a todos, Yo no soy un matemático :) lo siento por no escribir los detalles aquí. Básicamente, estudié ingeniería y teoría de control. En no lineal de la teoría de control que utilizamos a menudo diferenciales, Kahler u ordinaria, para el estudio de los sistemas. Ha habido una larga discusión sobre si esos dos conceptos son isomorfos o no. Creo que tenemos la respuesta definitiva. Junto con mis colegas hemos demostrado que la diferencial de una formas son isomorfo a un cociente de espacio (módulo) de Kahler diferenciales. Estos dos módulos coinciden cuando son módulos sobre un anillo de diferencial lineal de los operadores en el campo de las funciones algebraicas. Fue publicada como G. Fu, M. Halás, Ü. Kotta, Z. Li: Algunas observaciones sobre Kähler diferencias y diferenciales ordinarias no lineales de la teoría de control. En: los Sistemas de control y letras, artículo en prensa, 2011. Disponible en línea en http://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0167691111001198

Answer 4

ACTUALIZACIÓN: Mi respuesta, básicamente, se da la definición de Kahler diferenciales y formas diferenciales y pierde el sentido de la pregunta. Georges respuesta aborda la relación entre los dos. Como David delante de mí, yo también os animo a votar Georges respuesta de arriba y abajo de la mina.

Vamos $M$ ser suave, un colector y $p$ un punto en $M$. La definición habitual de el espacio de la tangente a $M$ a $p$ es como el espacio vectorial lineal de los mapas de $D: C^{\infty}(M) \to \mathbb{R}$ satisfacer la regla de Leibniz $$D(fg) = D(f)g(p) + f(p)D(g)$$ Equivalentemente, vamos a $I$ a ser el ideal de $C^{\infty}(M)$ que consta de todas las funciones de fuga en $p$. Entonces $T_p M$ es el dual del espacio vectorial $I/I^2$ (que por lo tanto llamamos el espacio cotangente $M$ a $p$). De hecho, $D(f) = 0$ para todo $f \in I^2$, y por el contrario cualquier lineal mapa de $r: I/I^2 \to \mathbb{R}$ da lugar a una derivación $D(f) := r(f-f(p))$.

Ahora vamos a $X$ ser un esquema sobre un campo $k$ (se puede generalizar esto a un morfismos de los planes) y $x$ un punto cerrado. Considerar el anillo local de $\mathcal{S}_{x, X}$ de funciones regulares en $X$. A continuación, el tallo en $x$ de la gavilla de Kahler diferenciales de $\Omega^1_X$ corepresents el functor de tomar un $\mathcal{S}_{x,X}$-módulo de $\mathcal{F}_x$ $\mathrm{Der}(\mathcal{S}_{x,X}, \mathcal{F} (_x)$. En particular, $$\mathrm{Der}(\mathcal{S}_{x,X}, k) \cong \mathrm{Hom}(\Omega^1_{X,x}, k)$$

Es en este sentido que usted piensa de $\Omega^1_{X,x}$ como el espacio cotangente a $X$ en $x$. De hecho, en este caso $\Omega^1_{X,x} \cong m/m^2$, donde $m \subconjunto \mathcal{S}_{x, X}$ es el ideal de las funciones de fuga en $x$.