Inclusiones relativas al limsup y liminf de conjuntos: $ \liminf E_n \subset \limsup E_n $

Question

Dejemos que $\{ E_n \}_{n \in \mathbb{N} }$ sea una secuencia de conjuntos en algún conjunto ambiental $\Omega $ . Quiero demostrar que

$$ \liminf E_n \subset \limsup E_n $$

Mi intento: IF $x \in \liminf E_n = \bigcup_{k=1}^{\infty} \bigcap_{n \geq k} E_n $ entonces hay algo de $k_0 \in \mathbb{N}$ para que $x \in \bigcap_{n \geq k_0} E_n $ . ¿Cómo puedo demostrar que $x \in \bigcap_{k =1}^{\infty} \bigcup_{n \geq k} E_n = \limsup E_n $ ??

Answer 1

Supongamos que $x \in \cap_{n \geq k_0} E_n$ . Entonces

Para $1 \leq k \leq k_0$ tenemos $x \in E_{k_0}$ y por lo tanto $x \in \cup_{n \geq k} E_n$ .

Para $k > k_0$ tenemos $x \in E_k $ y por lo tanto $x \in \cup_{n \geq k} E_n$ .

Por lo tanto, $x \in \cap_{k \geq 1} \cup_{n \geq k} E_n$ .