Une dos teoremas: encierro algebraico y división mínima de campo

Question

Tenga en cuenta las siguientes dos declaraciones del mismo libro de Cohn: Álgebra Básica.

La proposición 7.3.2: Si $k$ es cualquier campo y $\mathcal{F}$ es un conjunto de polinomios sobre $k$, entonces cualquiera de los dos mínimos de la división de los campos de $\mathcal{F}$ $k$ son isomorfos.

Teorema de11.8.3: Si $k$ es cualquier campo, a continuación, $k$ ha algebraica de cierre y dos algebraicas cierres son isomorfos.

Mi pregunta es, si tomamos $\mathcal{F}$ a ser el conjunto de todos los monic polinomios irreducibles sobre $k$, luego por 7.3.2, no implica que cualquiera de los dos algebraicas cierres son isomorfos?

Además, justo después de que el Teorema 7.3.2, el autor da también la existencia de un mínimo de la división de campo de $\mathcal{F}$ (no es visible en el enlace). Luego no implica que algebraicas cierre de cualquier campo existe y es única hasta el isomorfismo?

En otras palabras, yo estaba pensando que el Teorema 7.3.2 y la existencia de un mínimo de la división de campo de la realidad le da la prueba del teorema 11.8.3 arriba. Por qué era diferente afirmó y demostró que no entendía. Son estos dos teoremas realmente diferente?

Answer 1

Algebraica de cierre debe ser una división de campo de todos los polinomios sobre sí mismo (coeficientes de la expresión algebraica de cierre). Así que la existencia y unicidad de la división de campo de todos los polinomios sobre un campo $K$ no trivialmente implica la existencia y unicidad de una expresión algebraica cierre de $K$. Sin embargo, no es difícil probar que una extensión algebraica de una expresión algebraica extensión, también es una expresión algebraica de extensión, que de hecho los puentes de la brecha, y por lo tanto, el mínimo de la división de campo de todos los polinomios sobre $K$ es de hecho el mismo que el algebraicas cierre de $K$ (y no hay necesidad de restringir a monic polinomios irreducibles).

Answer 2

Cuando usted toma la división de campo de todos los polinomios irreducibles en un campo dado,$K$, a continuación, todos los polinomios división en el más grande campo, pero no hay ninguna garantía de que todos los polinomios en el mayor campo de split, ya que hay muchos más nuevos polinomios ahora. La dificultad con la prueba de una clausura algebraica que existe es precisamente esto: es muy fácil agregar las raíces de 0any dado el polinomio, pero, a continuación, usted debe considerar muchos de los nuevos polinomios. Esta es la razón por la que un simple lema de Zorn no funciona, y uno debe usar el axioma de elección con más cuidado. En contraste, la construcción de la división de campo de un polinomio es fácil, y no requiere de la elección.