Algunas dudas sobre Teorema de rastro (para funciones de Sobolev).

Question

Que $\Omega\subset\mathbb{R}^N$ ser un acotado dominio regular y considerar el espacio de Sobolec $W^{1,p}(\Omega)$ $p\in (1,\infty)$. Tengo algunas dudas con Teorema de rastro de th.

En términos generales, el teorema de traza indica que existe un funcional lineal % $ $$T:W^{1,p}(\Omega)\to L^p(\partial \Omega)$

que $Tu=u_{|\partial\Omega}$ cada $u\in C^\infty(\overline{\Omega})$.

Mi preguntas es:

¿Sólo funciona para que $Tu=u_{|\partial\Omega}$ son las funciones de $C^\infty(\overline{\Omega})$, o podemos encontrar, por ejemplo, funciones no continuas en $W^{1,p}(\Omega)$ que tiene la misma igualdad?

Gracias

Answer 1

La razón por la que la igualdad de $Tu=u_{|\partial \Omega}$ está indicado para las funciones en $C(\overline{\Omega})$ es que para otras funciones no está claro lo $u_{|\partial \Omega}$ medios. Por supuesto, podemos tomar cualquier función de $u\in W^{1,p}(\Omega)$ y extender su dominio a $\overline{\Omega}$ dejando $u$ ser igual a $Tu$ sobre el límite. Esta será una instancia de $Tu=u_{|\partial \Omega}$ siendo cierto a pesar de $u$ no necesariamente en $C(\overline{\Omega})$. Pero esto es una mera tautología que no nos enseñan nada nuevo.

Pero no son útiles y no trivial de resultados a lo largo de las líneas de tu pregunta: a partir de $\phi\in L^p(\partial \Omega)$, se puede extender $\phi$ a una función en $\Omega$ (resolviendo el problema de Dirichlet para algunos elíptica operador) y, a continuación, recuperar $\phi$ $u$ a través de nontangential límites. Esto no requiere de $\phi$ a de ser continuo. Para un ejemplo simple, tome $\Omega=\{z\in\mathbb C: |z|<1\}$$u=\log|z-1|$. A continuación,$u\in W^{1,p}(\Omega)$$p<2$. La traza operador está de acuerdo con los valores de límite de $u$ entendida en el sentido de nontangential límites.