Acción de grupo simétrico sobre un conjunto de funciones

Question

No estoy entendiendo el siguiente pasaje y espero que alguien pueda dilucidar (para el contexto, esto es en la introducción a la definición del signo de una permutación) donde el autor dice:

Dejemos que $f$ sea una función de $n$ variables, digamos $f\space\colon\mathbb{Z}^n\to\mathbb{Z}$ , por lo que podemos evaluar $f\left(x_1,\ldots,x_n\right)$ . Sea $\sigma$ sea una permutación de $J_n$ (el autor definió previamente $J_n=\left\{1,\ldots,n\right\}$ ). Definimos la función $\pi\left(\sigma\right)f$ por $$\pi\left(\sigma\right)f\left(x_1,\ldots,x_n\right)=f\left(x_{\sigma\left(1\right)},\ldots,x_{\sigma\left(n\right)}\right).$$ Entonces para $\sigma,\tau\in{S_n}$ tenemos $\pi\left(\sigma\tau\right)=\pi\left(\sigma\right)\pi\left(\tau\right)$ . De hecho, utilizamos la definición aplicada a la función $g=\pi\left(\tau\right)f$ para conseguir \begin{align*} \pi\left(\sigma\right)\pi\left(\tau\right)f\left(x_1,\ldots,x_n\right)&=\left(\pi\left(\tau\right)f\right)\left(x_{\sigma\left(1\right)},\ldots,x_{\sigma\left(n\right)}\right)\\ &=f\left(x_{\sigma\tau\left(1\right)},\ldots,x_{\sigma\tau\left(n\right)}\right) \\ &=\pi\left(\sigma\tau\right)f\left(x_{1},\ldots,x_{n}\right). \end{align*} Dado que la identidad en $S_n$ opera como la identidad en las funciones, se deduce que hemos obtenido una operación de $S_n$ en el conjunto de funciones.

Ahora bien, si dejo que $G$ sea el conjunto de funciones $\mathbb{Z}^n\to\mathbb{Z}$ entonces estoy de acuerdo en que el mapeo $S_n\times G\to G$ definido por $\left(\varpi,f\left(x_1,\ldots,x_n\right)\right)\mapsto{f\left(x_{\varpi\left(1\right)},\ldots,x_{\varpi\left(n\right)}\right)}$ está bien definida ya que las funciones están bien definidas, por definición.

Donde me pierdo es (y permítanme notar lo contento que estoy de que el entorno align* funcione) \begin{align*} \pi\left(\sigma\right)\pi\left(\tau\right)f\left(x_1,\ldots,x_n\right)&=\left(\pi\left(\tau\right)f\right)\left(x_{\sigma\left(1\right)},\ldots,x_{\sigma\left(n\right)}\right)\\ &=f\left(x_{\sigma\tau\left(1\right)},\ldots,x_{\sigma\tau\left(n\right)}\right) \\ &=\pi\left(\sigma\tau\right)f\left(x_{1},\ldots,x_{n}\right). \end{align*}

Yo lo haría como \begin{align*} \pi\left(\sigma\right)\pi\left(\tau\right)f\left(x_1,\ldots,x_n\right)&=\pi\left(\sigma\right)f\left(x_{\tau\left(1\right)},\ldots,x_{\tau\left(n\right)}\right)\\ &=f\left(x_{\sigma\tau\left(1\right)},\ldots,x_{\sigma\tau\left(n\right)}\right) \\ &=\pi\left(\sigma\tau\right)f\left(x_{1},\ldots,x_{n}\right). \end{align*}

No estoy seguro de por qué el autor utilizó $\left(\pi\left(\tau\right)f\right)$ en el lado derecho de la primera línea de la ecuación alineada en lugar de $\left(\pi\left(\tau\right)f\left(x_{\sigma\left(1\right)},\ldots,x_{\sigma\left(n\right)}\right)\right)$ y no sigo por qué el $\pi(\sigma)$ término "actos" primero. Entiendo por qué podemos sacar $\sigma\tau$ ya que la composición de funciones es asociativa, así, $(\sigma\circ\tau)(1)=\sigma(\tau(1))$ .

Answer 1

Me parece que tu argumento es mucho más fácil de seguir, pero creo que también entiendo el argumento del autor. Y es lo típico de estas cosas de las permutaciones, que siempre me lían :(

Supongamos que $\sigma$ envía $(1, 2, 3)$ a $(2, 3, 1)$ es decir, $\sigma(1) = 2; \sigma(2) = 3, \sigma(3) = 1$ (así que $\sigma$ en mi cabeza, significa "turno") y que $\tau$ envía $(1, 2, 3)$ a $(2, 1, 3)$ (así $\tau$ significa "transposición").

Ahora sigamos una a una las afirmaciones del autor, en este contexto. (Obsérvese que $\sigma$ y $\tau$ no se desplazan, así podremos comprobar que las cosas han salido bien)

\begin{align*} \left((\pi\left(\sigma\right)\pi\left(\tau\right)\right)f\left(x_1,\ldots,x_n\right)&=\left(\pi\left(\tau\right)f\right)\left(x_{\sigma\left(1\right)},\ldots,x_{\sigma\left(n\right)}\right)\\ &=\left(\pi\left(\tau\right)f\right)\left(x_2,x_3, x_1\right) \end{align*} Lo que ocurre aquí es que el autor está aplicando $\pi(\sigma)$ a la función $\pi(\tau)f$ . Para ello, en el RHS debe aplicar $\pi(\tau)f$ a la permutación $x$ s. Es decir, debe aplicar $\pi(\tau)f$ a $x_2, x_3, x_1$ . Ahora quiere ampliar aún más esa expresión, y escribe (aquí traduzco a índices concretos) \begin{align*} \left(\pi\left(\sigma\right)\pi\left(\tau\right)\right)f\left(x_1,x_2,x_3\right)&=\left(\pi\left(\tau\right)f\right)\left(x_{2},x_3,x_1\right)\\ &=f\left(\text{something}\right) \end{align*} Pero, ¿cuál debe ser ese "algo"? Tenemos que aplicar la permutación $\sigma$ a los números $x_2, x_3, x_1$ que los convierte en $x_3, x_2, x_1$ .

Ahora bien, si eres como yo, querrás decir "Bueno, sólo aplica $\sigma$ a cada uno de los números $2, 3, 1$ ". Pero eso da lugar a $1, 3, 2$ . Eso no es lo que queremos. El problema es que tenemos que intercambiar el primer y el segundo argumento, y la forma de hacerlo es intercambiar los números al que $\sigma$ se aplicó en primer lugar ¡! En otras palabras, necesitamos \begin{align*} \pi\left(\sigma\right)\pi\left(\tau\right)f\left(x_1,x_2,x_3\right)&=\left(\pi\left(\tau\right)f\right)\left(x_{2},x_3,x_1\right)\\ &=f\left(x_{\sigma(\tau(1)}, x_{\sigma(\tau(3)}, x_{\sigma(\tau(3)}\right) \end{align*} que resulta ser \begin{align*} f\left(x_{\sigma(\tau(1))}, x_{\sigma(\tau(2))}, x_{\sigma(\tau(3))}\right) &= f\left(x_{\sigma(2)}, x_{\sigma(1)}, x_{\sigma(3)}\right)\\ &= f\left(x_3, x_2, x_1\right) \end{align*} como se desee.

Espero que esto ayude. La forma abreviada es "todas las cosas de la permutación son $ab$ o $ba$ y, por lo general, se puede averiguar cuál es con un simple ejemplo en $S_3$ ."

Answer 2

Un par de paréntesis aclarará las cosas (ojalá):

\begin{align*} \pi\left(\sigma\right)\pi\left(\tau\right)f\left(x_1,\ldots,x_n\right)&=\pi(\sigma)\Bigl(\pi(\tau)f\Bigr)(x_1,\dots,x_n)\\ &=\left(\pi\left(\tau\right)f\right)\bigl(x_{\sigma\left(1\right)},\ldots,x_{\sigma\left(n\right)}\bigr). \end{align*}

Ahora dejemos que $\Sigma$ sea el $n$ por $n$ matriz de permutación asociada a $\sigma$ Puede reescribir $\bigl(x_{\sigma\left(1\right)},\ldots,x_{\sigma\left(n\right)}\bigr)$ como $(x_1,\ldots,x_n)\Sigma$ . Así que $$\pi\left(\sigma\right)f\left(x_1,\ldots,x_n\right)=f\bigl((x_1,\ldots,x_n)\Sigma\bigr).$$ Si $T$ es la matriz de permutación asociada a $\tau$ podemos terminar el cómputo anterior así: \begin{align} \left(\pi\left(\tau\right)f\right)\bigl(x_{\sigma\left(1\right)},\ldots,x_{\sigma\left(n\right)}\bigr)&=\left(\pi\left(\tau\right)f\right)\bigl((x_1,\ldots,x_n)\Sigma\bigr)\\ &= f\Bigl(\bigl((x_1,\ldots,x_n)\Sigma\bigr)T\Bigr)=f\bigl((x_1,\ldots,x_n)\Sigma T\bigr)\\ &=\pi(\sigma\tau)f(x_1,\dots,x_n). \end{align}