Estimar el valor de f en un punto dado

Question

Dejemos que $f: \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}$ sea una diferenciable en todas partes. Supongamos que $f(-\sqrt2,-\sqrt2)=0$ y también que $|\dfrac{\partial f}{\partial x}(x,y)|\le |\sin(x^2+y^2)|$ y $|\dfrac{\partial f}{\partial y}(x,y)|\le |\cos(x^2+y^2)|$ para cada $(x,y) \in \mathbb{R}^2\setminus \{(0,0)\}$ . Demostrar que $|f(\sqrt2,\sqrt2)|\le 4$ . He intentado utilizar la expansión de Taylor en el punto $(-\sqrt2,-\sqrt2)$ como sigue,

$f(x,y)=f(-\sqrt2,-\sqrt2)+ \dfrac{\partial f}{\partial x}(-\sqrt2,-\sqrt2)(x+\sqrt2)+\dfrac{\partial f}{\partial y}(x,y)(y+\sqrt2)+ \epsilon(||(x+\sqrt2,y+\sqrt2)||)$

$=\dfrac{\partial f}{\partial x}(-\sqrt2,-\sqrt2)(x+\sqrt2)+\dfrac{\partial f}{\partial y}(x,y)(y+\sqrt2)+ \epsilon(||(x+\sqrt2,y+\sqrt2)||).$

Utilizando la desigualdad de Cauchy-Schwartz, obtenemos el límite superior de $\dfrac{\partial f}{\partial x}(-\sqrt2,-\sqrt2)(x+\sqrt2)+\dfrac{\partial f}{\partial y}(x,y)(y+\sqrt2)$ en el punto $(\sqrt 2, \sqrt2)$ es 4. Sin embargo, no sé cómo tratar el $\epsilon(||(x+\sqrt2,y+\sqrt2)||)$ . Agradecería que alguien me ayudara con esto.

Answer 1

Para $0\le t \le 1,$ dejar

$$g(t) = f((-\sqrt 2,-\sqrt 2) + t(\sqrt 2,\sqrt 2)).$$

Entonces $g$ es diferenciable en $[0,1].$ Tenga en cuenta que $g(1)-g(0) = f(0,0) - f(-\sqrt 2,-\sqrt 2).$ Por el teorema del valor medio,

$$g(1) - g(0) = g'(c)\cdot 1 = \nabla f ((-\sqrt 2,-\sqrt 2) + c(\sqrt 2,\sqrt 2)) \cdot (\sqrt 2,\sqrt 2))$$

para algunos $c\in (0,1).$ Ahora $|\nabla f | \le 1$ lejos de $(0,0),$ por lo que Cauchy-Schwartz aplicado a lo anterior da $|g(1) - g(0)| \le 1\cdot 2 = 2.$

El mismo argumento se aplica a $f(\sqrt 2,\sqrt 2)-f(0,0).$ Une esto con lo anterior y utiliza $f((-\sqrt 2,-\sqrt 2))=0$ para obtener el resultado.