Convergencia de $\sum \frac{a_n}{(a_1+\ldots+a_n)^2}$

Question

Supongamos que $0 < a_n \leq 1$ y que $\sum a_n=\infty$ . ¿Es cierto que $$ \sum_{n \geq 1} \frac{a_n}{(a_1+\ldots+a_n)^2} < \infty $$ ?

Creo que sí, pero no puedo probarlo. Por supuesto, si $a_n \geq \varepsilon$ para algunos $\varepsilon > 0$ esto es obvio.

¿Alguna idea? Gracias.

Answer 1

Dejemos que $A_n=\sum\limits_{k=1}^na_n$ . Entonces $$ \begin{align} \sum_{n=1}^\infty\frac{A_n-A_{n-1}}{A_n^2} &\le\frac1{a_1}+\sum_{n=2}^\infty\frac{A_n-A_{n-1}}{A_nA_{n-1}}\\ &=\frac1{a_1}+\sum_{n=2}^\infty\left(\frac1{A_{n-1}}-\frac1{A_n}\right)\\ &\le\frac2{a_1} \end{align} $$

Answer 2

Recordemos cómo se prueba $\sum \frac{1}{n^2}$ converge.

Answer 3

Hay más hechos generales. Supongamos que $a_k\geq 0$ para todos $k\in\mathbb{N}$ y $\sum_{k=1}^\infty a_k$ diverge entonces para todo $\delta>0$ la serie $$ \sum\limits_{n=1}^\infty\frac{a_n}{S_n^{1+\delta}}\tag{1} $$ converge. Aquí denotamos $S_n=\sum_{k=1}^n a_k$ . Arreglar $n\in\mathbb{N}$ Apliquemos a la función $f(t)=t^{-\delta}$ Teorema del valor medio de Lagrange en el intervalo $[S_{n-1},S_n]$ . Entonces $$ \frac{1}{S_n^\delta}-\frac{1}{S_{n-1}^\delta}=-\frac{\delta}{\xi_n^{1+\delta}}(S_n-S_{n-1})=-\frac{\delta}{\xi_n^{1+\delta}}a_n $$ para algunos $\xi_n\in[S_{n-1}, S_n]$ . En este caso $$ \sum\limits_{n=2}^\infty\frac{a_n}{S_n^{1+\delta}}\leq \sum\limits_{n=2}^\infty\frac{a_n}{\xi_n^{1+\delta}}= \sum\limits_{n=2}^\infty\frac{1}{\delta}\left(\frac{1}{S_{n-1}^\delta}-\frac{1}{S_n^\delta}\right)=\frac{1}{\delta}\left(\frac{1}{S_1^\delta}-\lim\limits_{n\to\infty}\frac{1}{S_n^\delta}\right)=\frac{1}{\delta} $$ De ahí la serie $(1)$ converge.