Si $N$ puntos en la circunferencia de un círculo son elegidos al azar, żcuál es la probabilidad de $F(\theta)$ que la separación máxima entre vecinos de puntos es, al menos,$\theta$? Debido a que los huecos suma a $2\pi$, el máximo debe ser de al menos $2\pi/N$, por lo que $$F(\theta)=1 \text{ for } \theta\le\frac{2\pi}{N}.$$ At the other extreme, the solution to this problem shows that $$F(\theta) = N\left(1 - \frac{\theta}{2\pi}\right)^{N-1} \text{ for } \theta\ge\pi.$$ Hay una forma cerrada de solución para cualquier otro valor de $\theta$?
Actualización: El general de forma cerrada solución está dada en la respuesta a continuación. En términos de la notación de la pregunta, es $$ F(\theta) = \sum_{k=1}^{K} (-1)^{k-1} {N\elegir k} \left(1 - \frac{k \theta}{2\pi}\right)^{N-1}, $$ donde $K = \min(N, \lfloor{2\pi/\theta}\rfloor)$. Esto se reduce a los casos límite dado en la pregunta al $\theta \le 2\pi/N$ (en cuyo caso $K=N$) y al $\theta \ge \pi$ (en cuyo caso $K=1$).
