Entiendo que los números reales son innumerables, no se pueden poner en relación biunívoca con los números naturales. Pero asumiendo ZFC, puede lograrse un buen orden de $\mathbb R$ y por lo tanto existe un primer número real, y después de ese un sucesor de ese primero, y así sucesivamente... y dado que un buen orden es un orden total (cada par de elementos son comparables), me parece que puedo agotar todos los números reales de esa manera. Claramente debo estar pasando por alto algo, entonces ¿qué es?
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DanV
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Los bien-órdenes no son una propiedad única de los números naturales. Considere $A=\Bbb N\cup\{x\}$ (donde $x$ no es un número natural). Ahora considere el siguiente orden en $A:
$$a<_Ab\iff\begin{cases} a
¿Cómo se ve este orden? Se ve como escribir todos los números naturales, y después de agotar todos ellos escribimos $x$. Algo así como esto: $$0,1,2,\ldots,n,n+1,n+2,n+3,\ldots\ ,x$$
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¿Por qué menciono esto? Bueno, lo menciono porque aunque es obvio que $A$ es numerable, si comienzas en cualquier parte de la parte de $\Bbb N$ de $A$, y comienzas a tomar sucesores, aún nunca llegarás al punto $x$. A lo sumo llegarás a cubrir todos (o un segmento final) de $\Bbb N$. Pero no a $x.
¿Entonces, qué aprendimos? Aprendemos que los bien-órdenes pueden tener elementos que no son sucesores, en absoluto, y a estos se les llama puntos límite. Así que cuando bien-ordenamos $\Bbb R$ tenemos el primer elemento, y su sucesor, y así sucesivamente. Pero después de agotar lo que podemos usando la función sucesor, todavía no hemos contado el primer punto límite.
Ahora puedes argumentar "bueno, agreguemos ese punto límite y continuemos con la operación sucesor. ¡Seguramente eso funcionará!", pero de nuevo la respuesta es no. Por dos razones. La primera es que en algún momento llegarás a un punto que es un punto límite de puntos límite (y luego límite de límites de límites y así sucesivamente), y en cada uno de estos puntos tendrás que "aumentar la complejidad" de tu enumeración, hasta que ni siquiera puedas describirla más con una definición razonable.
La segunda razón, que es mucho más convincente, es que para un bien-orden no numerable el conjunto de puntos límite y el conjunto de puntos sucesores tienen la misma cardinalidad (que es la misma cardinalidad que el bien-orden en sí). Así que el argumento de que "seguramente al agregar un par de puntos límite podremos terminar" fracasa porque tienes que agregar muchos puntos límite.
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Como dices, un buen orden de los números reales te daría $r_0,r_1,...$ donde $r_i$ es el sucesor único de $r_{i-1}$. Pero la prueba de que los números reales no son numerables muestra que el buen orden no se agotará por $r_i$ para $i\in\mathbb{N}$. Más bien, tenemos que seguir adelante: está $r_\omega$ el elemento más pequeño de $\{x\in\mathbb{R}:x>r_i\forall i\in \mathbb{N}\}$, $r_{\omega+1},...$ y repitiendo otra vez después de infinitamente muchos números más $r_{2\omega},...,r_{n\omega},...,r_{\omega^n},...,r_{\omega^\omega},...$ No he llegado ni cerca del final de los ordinales contables que la gente ha considerado necesario describir, pero esto debería dar la idea básica de que un buen orden de un conjunto general puede ser mucho más complicado que el buen orden usual de $\mathbb{N}$. El problema básico es éste: tomar sucesores repetidamente nunca puede generar más que un conjunto numerable.
Parece que vale la pena mencionar que hay muchos buenos órdenes incluso de conjuntos numerables que no se agotan por el proceso de sucesión. Por ejemplo, ordena $\mathbb{N}$ por $2,3,4,...,1$. O $2,4,6,...,1,3,5,...$. O $1,2,4,6,...,3,9,15,...,5,25,35,...,...$. Estos son órdenes que parecen el segmento inicial de $\mathbb{R}$ precediendo a $r_{\omega+1},r_{2\omega},$ y $r_{\omega^2}$ en el párrafo anterior.
