Deje $R$ ser un anillo local regular de la dimensión $n$ y deje $P$ ser una altura $i$ primer ideal de $R$ donde $1< i\leq n-1$. Podemos encontrar elementos $x_1,\dots,x_i$ tal que $P$ es el mínimo primer contengan $x_1,\dots,x_i$?
Respuesta
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David Pokluda
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Desde $P$ tiene la altura $i$, los elementos $x_1,...,x_i$ debe ser una secuencia regular. Así, lo que estás preguntando es si $V(P)$ es un conjunto teórico completo de intersección.
Esta es una difícil pregunta en general. Por ejemplo, no se sabe para curvas en $A_\mathbb C^3$.
En general, la respuesta es NO. El ejemplo más sencillo es quizás $R=\mathbb C[x_{ij}]_{{1\leq i\leq 3},{1\leq j\leq 2}}$ $P$ es generado por el $2$ $2$ menores de edad. Para demostrar que $P$ no se genera hasta radical por $2$ elementos de uno tiene que demostrar que el local cohomology módulo de $H_P^3(R)$ es distinto de cero (propiedades básicas de local cohomology dicta que $H_I^n(R)=0$ si $n$ es mayor que el número de elementos que generen $I$ hasta radical. Eso es porque el local cohomology puede ser calculada con Cech complejo en estos generadores).
Incluso entonces, la forma más limpia para mostrar $H_P^3(R)\neq 0$ implica un topológico argumento (que no de fuga no es cierto en el carácter $p>0$ por el camino).
Si quieres saber más, las palabras clave son: conjunto teórico completo de intersección, analítica de propagación, local cohomology.
