Diferenciar

Question

Que $U={f \in \mathcal{C}([0,1],\mathbb{R}): 0<f caso="" considere="" de="" definici="" derivada="" dt="" el="" en="" encontrar="" es="" esta="" f="" funci="" la="" lineal="" nuestro="" por="" punto="" quiero="" se="" tal="" trata="" una="">0 \ \exists r>0 : (||h||<r algo="" aqu="" como="" cuando="" de="" differentable.="" dt="" embargo="" en="" es="" estoy="" f="" garant="" h="" hay="" integraci="" integral="" l="" la="" ninguna="" no="" pensando="" por="" que="" que:="" sin="" sustitu="" sustituci="" tenemos="" tiene="" u="" usar="" y="">¿Cómo encontrar esto $L$? Gracias de antemano

</r></f>

Answer 1

Fix $f\in U$ y considerar la posibilidad de $h$ $\|h\|$ pequeños. Entonces

$$ F(f+h) = \int_{f(0) + h(0)}^{f(1) + h(1)} (f+h)$$ $$\tag 1 = \int_{f(0)}^{f(1)}(f+h) +\int_{f(1)}^{f(1) + h(1)}(f+h) - \int_{f(0)}^{f(0) + h(0)}(f+h).$$

En $(1)$ vemos tres integrales, vamos a llamarlos $I_1,I_2, I_3.$ Hemos

$$\tag 2 I_1 = F(f) + \int_{f(0)}^{f(1)}h,$$

lo cual es bueno porque tenemos que ver $F(f)$ aislado, y la integral en $(2)$ es lineal en $h.$ Continuar,

$$\tag 3 I_2 = \int_{f(1)}^{f(1) + h(1)}f + \int_{f(1)}^{f(1) + h(1)}h.$$

Vamos a pensar acerca de $(3):$ $\|h\| \to 0,$ esperamos que la primera integral a estar cerca de $f(f(1))h(1)$ por la continuidad de $f$ $f(1).$ De hecho es igual que en el gasto de una $o(\|h\|)$ plazo. La segunda integral en $(3)$ es claramente $o(\|h\|).$ $(3)$ es igual a $f(f(1))h(1) +o(\|h\|).$ Asimismo, $I_3 = f(f(0))h(0) + o(\|h\|).$

Poner todo junto da

$$F(f+h)= F(f) + \int_{f(0)}^{f(1)}h + f(f(1))h(1) - f(f(0))h(0) + o(\|h\|).$$

Por lo tanto $DF(f)(h) = \int_{f(0)}^{f(1)}h + f(f(1))h(1) - f(f(0))h(0).$

Gracias a Daniel Fischer para darse cuenta de un error, ahora corregido.