Estoy tratando de mostrar que si $f:(0,+\infty)\rightarrow\mathbb R$ $C^1$ función tal que $$f'(x)<\frac{f(x)}{x}\quad \forall x\in (0,+\infty) \tag{$\estrella de$}$$ entonces $$f(x+y)<f(x)+f(y)$$
Primero de todo, me mostró que
$x\mapsto \frac{f(x)}{x}$ es una función decreciente.
Su derivada es $$\frac{d}{dx}\left (\frac{f(x)}{x} \right )=\frac{xf'(x)-f(x)}{x^2}=\frac{1}{x}\left (f'(x)-\frac{f(x)}{x} \right )$$ Desde $f$'s de dominio es $(0,+\infty)$, $x\mapsto \frac{f(x)}{x}$ está disminuyendo debido a la $(\star)$.
Si $x,y\in(0,+\infty)$ son dos números reales positivos tales que $x\leq y$,$f'(y)<\frac{f(x)}{x}$.
Porque de $(\star)$, $$f'(y)<\frac{f(y)}{y}$$ El resultado se sigue del hecho de que $x\mapsto \frac{f(x)}{x}$ está disminuyendo.
Me lo demostró el resultado a través de la siguientes integral de la estimación. Deje $x\leq y$. Podemos escribir $$f(x+y)-f(y)=\int_{y}^{x+y}f'(t)dt$$ Cada $t$ en el intervalo de $(y~,~x+y)$ es mayor que $y$, por lo que sabemos que $$f'(t)<\frac{f(y)}{y}$$ desde el segundo punto. Así $$\int_{y}^{x+y}f'(t)dt<\frac{f(y)}{y} \cdot x$$ Desde $x\leq y$, lo sabemos desde el primer punto que $$\frac{f(y)}{y} \cdot x<\frac{f(x)}{x}\cdot x=f(x)$$ así, hemos demostrado que $$f(x+y)-f(y)<f(x)$$ Es la afirmación verdadera? Hay fallas en esta prueba?
