Bueno, la respuesta es sí, $\mathsf{Ban}$ $\omega_1$accesible. A continuación sostengo que $\mathsf{Ban}$ $\omega_1$- filtrada colimits, calculada mediante la modificación de los diagramas de mentir en $\mathsf{Ban}_c$ y el uso de ese $\mathsf{Ban}_c \to \mathsf{Ban}$ preserva $\omega_1$-filtrada colimits. La sustitución es tal, que cualquier functor $\mathsf{Ban} \to \mathcal{C}$ preserva $\omega_1$-filtrada colimits si y sólo si su restricción a$\mathsf{Ban}_c$. En particular, el $\omega_1$-presentable objetos de $\mathsf{Ban}$ coinciden con los de $\mathsf{Ban}_c$. Cada objeto en $\mathsf{Ban}$ $\omega_1$- filtrada colimit de estas, ya que es así en $\mathsf{Ban}_c$ y el colimits se conservan. Por lo tanto $\mathsf{Ban}$ $\omega_1$accesible, y $\mathsf{Ban}_c \to \mathsf{Ban}$ es un (no completo) $\omega_1$accesible de la incrustación.
Esto plantea la pregunta: ¿qué es un buen boceto o axiomatization para $\mathsf{Ban}$ como una categoría de modelos y homomorphisms? (Bueno, el uso de $\mathsf{Ban}(\ell_1(\omega),-)$ a dar un conjunto subyacente, podemos presumiblemente hacer esto por axiomatizing un conjunto equipado con un conjunto de contables subconjuntos ser interpretado como el conjuntos de $(x_i)_{i \in \mathbb{N}}$ que "$\sum_i \|x_i\|$ es finito").
Además, este método no se identifica explícitamente a la $\omega_1$-presentable objetos en $\mathsf{Ban}$ (lo que es equivalente, en $\mathsf{Ban}_c$). Desde $\ell_1(\omega)$ $\omega_1$- presentable fuerte generador, están dados por contables colimits de $\ell_1(\omega)$. Esto probablemente es el resultado exactamente de los espacios de Banach separables como Eric Wofsey sugiere, pero no he comprobado.
La integridad, el argumento de que $\mathsf{Ban}_c \to \mathsf{Ban}$ preserva $\omega_1$-filtrada colimits va como sigue. Si $X: I \to \mathsf{Ban}_c$ $\omega_1$- filtrado del diagrama, y $f_i: X_i \to Y$ es un cocone en $\mathsf{Ban}$, afirman que las normas de las piernas de $f$ son acotados. De lo contrario, podríamos optar $(i_n)_{n \in \mathbb{N}}$ $x_n \in X_{i_n}$ $\|x_n\| \leq 2^{-n}$ pero $\|f_{i_n}(x_n)\| \geq 3^n$. Por $\omega_1$-filteredness, podemos encontrar una $\alpha \in I$ $\alpha\geq i_n$ por cada $n$. A continuación, $\sum X_{i_n\alpha}(x_n)$ converge absolutamente, pero bajo $f_\alpha$ es enviado a $\sum_n f_{i_n}(x_n)$ que debe divergir, contradiciendo el acotamiento de $f_\alpha$.
Así que no es de $B$ tal que $\|f_i\| \leq B$ todos los $i \in I$. A continuación, $f/B$ es un cocone en $\mathsf{Ban}_c$. Así que, dejando $(\varinjlim X,(\eta_i)_{i \in I})$ denotar la colimit cocone en $\mathsf{Ban}_c$, no hay una única cocone mapa de $\bar f: (\varinjlim X (\eta_i)_{i \in I}) \to (Y,f/B)$$\mathsf{Ban}_c$, e $Bf$ es el único cocone mapa de $(\varinjlim X (\eta_i)_{i \in I}) \to (Y,f)$$\mathsf{Ban}$, e $\varinjlim X$ es el colimit
Aquí es cómo reducir el $\omega_1$-filtrada colimits en $\mathsf{Ban}$ a los en $\mathsf{Ban}_c$. Es suficiente para tratar la $\omega_1$-dirigido colimits (ya que cada $\lambda$-filtrada diagrama tiene un cofinal $\lambda$-dirigido subdiagrama). Si $X: I \to \mathsf{Ban}$ es un diagrama de este tipo, primero observar que $K_i := \{x \in X_i \mid \exists j \geq i \, X_{ij}(x) = 0\}$ forma un subespacio cerrado de $X_i$ (esto utiliza $\omega_1$-filteredness de $I$). Así que podemos dejar a $X_i' = X_i/K_i$, y, a continuación, $X$ desciende a un functor $X'$ en la forma obvia, con una isomorfo categoría de cocones. Ahora $X'$ tiene la propiedad de que
(*) Para cualquier $x \in X_i'$ y $j \geq i$, $X_{ij}'(x) = 0$ iff $x=0$.
Pick $X_{i_0} \neq 0$ (de lo contrario el colimit es sólo 0), vamos a $I_{\geq i_0} = \{i \in I \mid i \geq i_0\}$, que es cofinal por filteredness de $I$. A continuación, vamos a $X'': I_{\geq i_0} \to \mathsf{Ban}$ ser la restricción de $X'$$I_{\geq i_0}$. Ahora nos vamos a $X'''_i=X''_i$ pero $X'''_{ij} = \frac{\|X''_{i_0i}\|}{\|X''_{i_0j}\|}X''_{ij}$, utilizando (*) para garantizar que los denominadores son distintos de cero (este es el único paso que requiere la indexación de la categoría a ser un poset, se podría haber esperado para pasar a un cofinal un poset este punto). A continuación,$X'''\cong X''$, pero se encuentra en $\mathsf{Ban}_c$; podemos tomar su colimit; el colimit es preservado por la inclusión $\mathsf{Ban}_c \to \mathsf{Ban}$, e $\varinjlim X''' = \varinjlim X'' = \varinjlim X' = \varinjlim X$, por lo que tenemos a nuestro deseado colimit.
Ah, y he aquí un argumento que $\ell_1(\omega)$ $\omega_1$- presentable. $\omega_1$-filtrada colimits en $\mathsf{Ban}_c$ se calcula en $\mathsf{Vect}$, la norma máxima tal que la estructura de los mapas son contracciones. Como se discutió en la pregunta, $\ell_1(\omega)$ corepresents secuencias cuyas normas suma a $\leq 1$. Si $(x_n)_{n \in \mathbb{N}}$ es una secuencia en $\in \varinjlim X$$\sum_n \|x_n\|_{\varinjlim X} = a \leq 1$, $\omega_1$- filteredness, podemos encontrar una $X_i$ todos los $x_n \in X_i$. Por otra parte, podemos encontrar una secuencia $(X_{i_k})_{k \in \mathbb{N}}$$\sum_n \|x_n\|_{X_{i_k}} \to a$$k \to \infty$. Entonces por $\omega_1$-filteredness de nuevo, podemos encontrar $X_j$ $j\geq i_k$ todos los $k$, y de ello se sigue que $\sum_n \|x_n\|_{X_j} = a \leq 1$. Por lo que el mapa de $\varinjlim \mathsf{Ban}_c(\ell_1(\omega),X) \to \mathsf{Ban}_c(\ell_1(\omega),\varinjlim X)$ es surjective. También es inyectiva: Si $(x_n)_{n \in \mathbb{N}} = (0)_{n \in \mathbb{N}}$$\varinjlim X$, entonces cada una de las $x_n = 0$ ya en alguna etapa $i_n$, por $\omega_1$-filteredness, cada una de las $x_n = 0$ en algunos $X_j$ $j\geq i_n$ todos los $n$. Por lo $x_n = 0$ $\varinjlim \mathsf{Ban}_c(\ell_1(\omega),X)$
