Forma cerrada de integral multivariable con función delta de Dirac

Question

¡Quiero darte este ejercicio para ver si hay soluciones más simples a la que he elegido! Me pareció un ejercicio muy interesante.

Pregunta

Encuentra la forma cerrada para todos los N de la siguiente función $$f(x)= \int\cdots\int\delta\left ( \sum_ {n=1}^{N}x_{n}-x \right ) \prod_ {n=1}^{N} \frac {1}{1+x_{n}^2}dx_1 \cdots dx_N$$ donde $ \delta (x)$ es la función del delta de Dirac y todas las integrales deben ser tomadas en toda la línea real.

Mi respuesta

Me pareció muy útil para este tipo de problemas tomar un poco de N y ver el patrón:

• N=1 $$f(x) = \int_ { \mathbb {R}} \delta (x_1-x) \frac {1}{1+x_1^2}dx_1= \frac {1}{1+x^2}$$ fácil. Luego viene la parte divertida.

• N=2 $$f(x) = \iint_ { \mathbb {R^2}} \delta (x_1+x_2-x) \frac {1}{1+x_1^2} \frac {1}{1+x_2^2}dx_1dx_2 = \\ = \iint_ { \mathbb {R^2}} \delta (x_1-(x-x_2)) \frac {1}{1+x_1^2} \frac {1}{1+x_2^2}dx_1dx_2 = \\ = \int_ { \mathbb {R}} \frac {1}{1+(x-x_2)^2} \frac {1}{1+x_2^2}dx_2$$ esto es sólo la convolución de dos funciones iguales $g(x)= \frac {1}{1+x^2}$ . Usando el teorema de la convolución de la transformación de Fourier obtengo $$f(x) = \mathcal {F}^{-1} \left\ { \mathcal {F}^{2} \left\ { \frac {1}{1+x^2} \right\ } \right\ } = \mathcal {F}^{-1} \left\ { \pi e^{-2k} \right\ } = \frac {2 \pi }{4+x^2}$$ Aquí utilicé el hecho de que $$ \mathcal {F} \left\ { \frac {1}{a^2+x^2} \right\ } = \frac { \pi }{a}e^{-a|k|}$$

• N=3 $$f(x)= \iiint_ { \mathbb {R}^3} \delta (x_1+x_2+x_3-x) \frac {1}{1+x_1^2} \frac {1}{1+x_2^2} \frac {1}{1+x_3^2}dx_1dx_2dx_3 = \\ = \iiint_ { \mathbb {R}^3} \delta (x_1-(x-x_2-x_3)) \frac {1}{1+x_1^2} \frac {1}{1+x_2^2} \frac {1}{1+x_3^2}dx_1dx_2dx_3 = \\ = \iint_ { \mathbb {R}^2} \frac {1}{1+(x-x_2-x_3)^2} \frac {1}{1+x_2^2} \frac {1}{1+x_3^2}dx_2dx_3$$ que ahora es una doble convolución, una igual a la anterior $$ \left ( \frac {1}{1+(x-x_3)^2}* \frac {1}{1+x^2} \right ) = \frac {2 \pi }{4+(x_3-x)^2}$$ así que entonces $$ \int_ { \mathbb {R}} \frac {2 \pi }{4+(x-x_3)^2} \frac {1}{1+x_3^2}dx_3$$ que es otra convolución más, que lleva a $$f(x) = \frac {3 \pi ^2}{9+x^2}$$

Así que mi respuesta final para una N genérica sería: $$f(x) = \frac {N \pi ^{N-1}}{N^2+x^2}$$

Pensamientos finales

Ahora, ¿hay una forma más simple de obtener este resultado? Probablemente hay algunos problemas constantes pero no es el punto, el punto es que la función es de la forma $$f(x)= \frac {c(N)}{N^2+x^2}$$

Answer 1

Puedes calcular la transformación de Fourier de $f$ : $$ \widehat {f}( \xi )= \int f(x) e^{ix \xi }dx= \int \int\cdots\int\delta\left ( \sum_ {n=1}^{N}x_{n}-x \right ) \prod_ {n=1}^{N} \frac {1}{1+x_{n}^2} e^{i x \xi }dx_1 \cdots dx_N dx$$ así que: \begin {alinear} \widehat {f}( \xi )&= \int\cdots \int\left ( \int\delta\left ( \sum_ {n=1}^{N}x_{n}-x \right ) e^{i x \xi } dx \right ) \prod_ {n=1}{N} \frac {1}{1+x_{n}^2} dx_1 \cdots dx_N \\ &= \int\cdots \int\left ( \prod_ {n=1}{N} e^{i x_n \xi } \right ) \prod_ {n=1}{N} \frac {1}{1+x_{n}^2} dx_1 \cdots dx_N \\ &= \left ( \int e^{i x \xi } \frac {1}{1+x^2} \right )^N= \pi ^N e^{-N |x|} \end {alinear} y usando la transformación inversa de Fourier se puede obtener el resultado.