Demostrar

Question

Se puede ver fácilmente, pero estoy realmente apilado. No sé cómo empezar.

Deje que$A \neq \emptyset $ sea un subconjunto de$ \mathbb{R} $. Si por cada% real $x$,$y$ suma$x+y$ pertenece a$A$, entonces$xy$ también pertenece al conjunto$A$. Luego compruebe que$A= \mathbb{R} $

$\mathbb{R}$ - aquí está el conjunto de números reales. ¡Gracias por la ayuda de antemano!

Answer 1

Primero, desde$A\ne \emptyset$, existe un$y=0+y\in A$, así que$0\times y=0\in A$.

Luego, para todos los$y\in\mathbb R$,$0=y+(-y)\in A$, entonces$y\times(-y)=-y^2\in A$, es decir, todos los números reales negativos están en$A$.

Finalmente, para todos los$y\in\mathbb R_{<0}$,$y=(y/2)+(y/2)\in A$, entonces$(y/2)(y/2)=y^2/4\in A$, es decir, todos los números reales positivos están en$A$.

Como resultado, $A=\mathbb R$.

Answer 2

Deje que$a\in A$ sea un elemento. Luego, para demostrar que$x\in\mathbb{R}$ está en$A$ (para$x$ arbitrario), se trata de resolver el sistema$$\cases{y+z = a, &\\yz = x.}$ $ ¿Puede tomarlo aquí?