Pregunta número complejo demostrando una desigualdad.

Question

Si $|z_1|=1,|z_2|=1$, cómo puede uno demostrar $|1+z_1|+|1+z_2|+|1+z_1z_2|\ge2$

Answer 1

$$ \mid 1+z_1 \mid + \mid 1+ z_2 \mid + \mid 1+ z_1z_2 \mid \ \ge \mid 1+z_1 \mid + \mid 1+z_1z_2-1-z_2 \mid$ $ [Desigualdad del triángulo usando] $$ \mid 1+z_1 \mid + \mid z_1z_2-z_2 \mid = \mid 1+z_1 \mid + \mid z_1 -1 \mid \ \ge |1+z_1+z_1-1| = 2 $ $ [otra vez usando la desigualdad del triángulo]

Así hemos terminado :)

Answer 2

Usted tiene que $|1+w| \geq |\Re(1+w)| = |1 + \Re(w)|$. Puesto que sólo se considere el $|w| = 1$, usted tiene que $|1 + Re(w)| = 1 + Re(w)$. Por lo tanto, es suficiente para demostrar que $$1 + \cos(t_1) + 1 + \cos(t_2) + 1 + \cos(t_1+t_2) \geq 2,$$ donde$z_1 = e^{it_1}$$z_2 = e^{it_2}$. Si $t_1$ es fijo, entonces el LFH obtiene su extremal valores cuando $$-\sin(t_2) -\sin(t_1+t_2) = 0,$$ es decir, $$\sin(t_2) = - \sin(t_1+t_2),$$ lo que implica que los $$t_1 = -t_1 - t_2+2\pi k \Leftrightarrow t_2 = -2 t_1 + 2\pi k$$ o $$t_1 = \pi + t_1 + t_2 + 2\pi k\Leftrightarrow t_2 = \pi + 2\pi k.$$ A menos que me equivoco, el primer caso corresponde a los máximos locales. El segundo caso, que corresponde a los mínimos locales, da $$LHS = 2 + \cos(t_1) + \cos(t_1 + \pi) = 2.$$ Es decir, para cada uno de ellos fijo $t_1$, el LFH es mayor que $2$ como una función de la $t_2$. Lo que por supuesto implica que es mayor que $2$ todos los $(t_1, t_2)$.