Demuestre que$f(x) = \sum_{n=1}^{\infty} x^n/n^2$ es continuo en$[0,1]$

Question

Tengo una idea general de cómo probar esto, pero yo podría utilizar un poco de ayuda con los detalles.

Básicamente veo que $f(x)$ es el límite uniforme de $f_k(x) = \sum_{n=1}^{k} x^n/n^2$ a $[0,1]$.

Cada una de las $f_k$ es continua, por lo $f$ es así desde que la convergencia uniforme preserva la continuidad.

Es esto una prueba de correcto/¿le parece suficiente?

Gracias de antemano.

Answer 1

Tenga en cuenta que $|x^n/n^2|\leq 1/n^2$ en $[0,1]$ y $\sum_{n=1}^{\infty} 1/n^2 \lt \infty$ . Luego, mediante la prueba M de Weierstrass, $\sum_{n=1}^{\infty} x^n/n^2$ converge uniformemente. Por lo tanto, $f$ es continuo.

Answer 2

Esto puede ser hecho por un cálculo estudiante, realidad, e incluso se puede probar la continuidad es uniforme, siempre y cuando el cálculo estudiante recuerda el valor medio teorema. No $M$-prueba se necesita aquí!

Deje $x_0, x_1 \in [0,1]$, y deje $\epsilon > 0$ ser dado. Nos vamos a encontrar a $\delta$ , de modo que $|x_0 - x_1| < \delta \implies |f(x_0) - f(x_1)| < \epsilon$.

Para ver esto, introducir las funciones auxiliares $g_n(x) = x^n$

Tenemos:

$$|f(x_1) - f(x_0)| = \bigg|\sum_{n=1}^\infty \frac{x_1^n - x_0^n}{n^2} \bigg| = \bigg| \sum_{n=1}^\infty \frac{g_n(x_1) - g_n(x_0)}{n^2}\bigg|$$

Ahora $g_n$ son todos diferenciable, por lo $g_n(x_1) - g_n(x_0) = g_n'(x)(x_1 - x_0)$ por el Valor medio Teorema, para algunos $x \in (x_0, x_1)$ (suponiendo, sin pérdida de generalidad $x_1 > x_0$.

Ahora tenemos $g_n'(x) = nx^{n-1}$, por lo mete esto en la ecuación anterior y la observación de que ahora todos los términos son positivos en la suma, por lo que debemos soltar las barras:

$$|f(x_1) - f(x_0)| \leq \bigg[\sum_{n=1}^\infty \frac{x^{n-1}}{n}\bigg] |x_1 -x_0|$$

Pero ahora, el primer término es una serie convergente, puesto que $x < 1$, e $n > 0$, esta expresión está limitada por arriba por una serie geométrica. Llamando al valor límite de $S$, teniendo en $\delta = 1/S$ es suficiente.