Verificación de pruebas para matrices de identidad

Question

Así que tengo la siguiente pregunta:

Analice la siguiente "Afirmación" (que puede o no ser cierta) y la correspondiente "Prueba", escribiendo "VERDADERO" o "FALSO" (junto con la razón) para cada paso. Nota: $I_n$ es el $n \times n$ matriz de identidad].

Reclamación: Que $A$ sea cualquier $n \times n$ matriz que satisface $A^2=I_n$ . Entonces, o bien $A=I_n$ o $A=-I_n$ .

'Pruebas'.

Paso 1: $A$ satisface $A^2-I_n = 0$ (Verdadero o falso)

Es cierto.

Mi razonamiento: Claramente, esto es cierto. $A^2=I_n$ no es siempre cierto, pero como es cierto, no debería tener problemas para mover la matriz de identidad al LHS.

Paso 2: Así que $(A+I_n)(A-I_n)=0$ (Verdadero o falso)

Es cierto.

Mi razonamiento: Porque $I_n$ es la matriz identidad, no debería haber problemas con la factorización al igual que el álgebra normal.

Paso 3: $A+I_n=0$ o $A-I_n=0$

No estoy seguro de esta parte. Estoy muy tentado de decir que esto está bien, pero no estoy seguro de cómo puedo justificar esto, si es que puedo.

Por lo tanto, $A=-I_n$ o $A=I_n$ . (Fin de la "Prueba".)

¿Lo que estoy haciendo es correcto hasta ahora o estoy metiendo la pata en alguna parte?

Answer 1

• En lugar de decir que mover la identidad al LHS, se debe a que añadimos $-I$ a ambas partes.

• Tenemos $A^2-I=(A-I)(A+I)$ Sólo tenemos que ampliar el lado derecho para comprobarlo.

• En las matrices, $AB=0$ no implica que $A=0$ o $B=0$ . Por ejemplo $$\begin{bmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 0\end{bmatrix}\begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 0 & -2\end{bmatrix}= \begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0\end{bmatrix}$$

• En particular,

$$\left(\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1\end{bmatrix}+\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1\end{bmatrix}\right)\left(\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1\end{bmatrix}-\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1\end{bmatrix}\right)= \begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0\end{bmatrix}$$

es decir, no podemos concluir que $(A+I)(A-I)=0$ implica $A+I=0$ o $A-I=0$ también.

Answer 2

Considere cualquier matriz diagonal con elementos diagonales $\pm 1$ . Demostrar que $A^{2}=I_n$ . se obtiene $2^{n}$ matrices cuyo cuadrado es $I_n$ .

Answer 3

Además si quieres un ejemplo concreto de una matriz cuyo cuadrado es la identidad pero que no es en sí misma una matriz simple considera por ejemplo esta:

$$\begin{bmatrix}\frac{1}{2} & \frac{3}{4} \\ 1 & -\frac{1}{2}\end{bmatrix}$$

Estas matrices se denominan involuntario