Muestran que

Question

$$\int_0^1 \prod_{n\geq 1} (1-x^n) \, dx = \frac{4\pi\sqrt{3}\sinh(\frac{\pi}{3}\sqrt{23})}{\sqrt{23}\cosh(\frac{\pi}{2}\sqrt{23})}$$

Este monstruoso expresión es de Tolaso Red (tolaso.com.gr). No tengo idea de cómo acercarse a él - convertir el producto en una suma de logaritmos no es bueno, y uno no puede cambiar el orden de producto/integral. El producto en sí mismo no convergen a nada bueno.

Estoy interesado en ver la prueba de la anterior identidad, así como una explicación de cómo exactamente $\sqrt{23}$ se ve envuelto en un engañoso integral. Ambos reales y complejos de soluciones analíticas son bienvenidos. Una prueba sin el pentagonal número teorema sería bueno también, ya que trivializa un poco el problema.

Answer 1

Tenga en cuenta que <span class="math-container">$$ \prod {n = 1} ^ \infty (1-x ^ n) = \sum {m =-\infty} ^ \infty(-1) ^ mx ^ {m(3m+1)/2} $$</span> (fórmula número pentagonal de Euler), por lo que la integral es igual a <span class="math-container">\begin{align} I&=\sum{m=-\infty}^\infty(-1)^m\frac2{3m^2+m+2}\ &=\frac4{\sqrt{23}} \sum{m=-\infty}^\infty(-1)^m\left(\frac{1}{m+(1-\sqrt{23})/6} -\frac{1}{m+(1+\sqrt{23})/6}\right). \end {Alinee el}</span> ahora se puede atacar este con identidades para la función digamma.

Answer 2

Como sugiere el Pisco, el uso de la Pentagonal número teorema, para $|x|<1$, $$\prod\limits_{n=1}^{+\infty}(1-x^n)=\sum\limits_{m=-\infty}^{+\infty}(-1)^m x^{\frac{3m^2-m}{2}}.$$ A continuación, mediante la integración de cada término (aquí algunos detalles son necesarios), obtenemos $$2\sum\limits_{m=-\infty}^{+\infty}\frac{(-1)^m }{3m^2-m+2}.$$ Ahora tenga en cuenta que el discriminante del polinomio cuadrático en el denominador es el número de $-23$.

Se puede tomar desde aquí?