Demostrar

Question

$$\sum_{n=1}^\infty\frac{\cot(\pi n\sqrt{61})}{n^3}=-\frac{16793\pi^3}{45660\sqrt{61}}.$$

• Probar que converge y,

• evaluar la serie.

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Para la primera parte de la pregunta, puedo demostrar que converge considerando la irracionalidad de la medida,

$$|\sin (n\pi\sqrt{61})|=|\sin (n\pi\sqrt{61}-m\pi)|\ge \frac{2}{\pi}|n\pi\sqrt{61}-m\pi|\ge 2n\left|\sqrt{61}-\frac{m}{n}\right|>\frac{C}{n},$$

así $$\left|\frac{\cot(\pi n\sqrt{61})}{n^3}\right|\le\left|\frac{1}{n^3\sin(\pi n\sqrt{61})}\right|<\frac{C}{n^2}.$$

Cómo evaluar la serie?

He encontrado una pregunta relacionada.

Me disculpo por la incorrecta información en el post anterior.

Answer 1

En general

$$F(\alpha) = \sum_{n=1}^\infty \frac{\cot(n\pi \alpha)}{n^3}$$

converge y puede ser explícitamente calcula cuando se $\alpha$ es una cuadrática irracional. La convergencia en este caso es fácilmente visto como $\alpha$ ha irracionalidad de medida $2$. Más precisamente, $F(\alpha)/\pi^3 \in \mathbb{Q}(\alpha)$ cuando $\alpha$ es cuadrática irracional.

El siguiente procedimiento también funciona al $n^3$ es reemplazado por $n^{2k+1}$.

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Vamos $$g(z) = \frac{\cot(z\pi \alpha)\cot(z\pi)}{z^3}$$ then $g$ has simple poles at non-zero integer multiples of $1$ and $1/\alfa$, and $5$-th order pole at $0$. Let $R_N$ denote a large rectangle with corners at $N(\pm 1 \pm i)$. Luego el contorno de integración da $$\tag{1}\sum_{\substack{n\in R_N \\ n\neq 0}} \frac{\cot(n\pi\alpha)}{\pi n^3} + \sum_{\substack{n/\alpha\in R_N \\ n\neq 0}} \frac{\alpha^2\cot(n\pi/\alpha)}{\pi n^3}-\frac{\pi ^2 \left(\alpha^4-5 \alpha^2+1\right)}{45 \alpha} = \frac{1}{2\pi i} \int_{R_N} g(z)dz$$ Yo reclamo existe una secuencia de enteros $N_1, N_2, \cdots$ tal que RHS tiende a $0$. Tenga en cuenta que $\cot(z\pi)$ es uniformemente acotada en el espacio anular $R_{N+3/4} - R_{N+1/4}$ cuando $N$ es un número entero. Por lo tanto, por equidistribución de $n\alpha$ modulo $1$, podemos encontrar enteros $N_i$ tanto $\cot(z\pi\alpha)$ e $\cot(z\pi)$ son uniformemente acotadas en $R_{N_i+3/4} - R_{N_i+1/4}$.

Desde ya sabemos que la serie converge, de $(1)$: $$\tag{2}F(\alpha) + \alpha^2F(\frac{1}{\alpha}) = \underbrace{\frac{\pi ^3 \left(\alpha^4-5 \alpha^2+1\right)}{90 \alpha}}_{\rho(\alpha)}$$ Tenga en cuenta que, obviamente, $F(\alpha+1)=F(\alpha)$.

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Deje que la continuación de la fracción de expansión de $\alpha$ ser dada por $$\alpha = [a_0;a_1,a_2,\cdots]$$ Completo sucesivos cocientes se denota por: $$\zeta_0 = [a_0;a_1,a_2,\cdots]\qquad \zeta_1 = [a_1;a_2,a_3,\cdots]\qquad \zeta_2 = [a_2;a_3,a_4,\cdots]$$ A continuación, $(2)$ y periodicidad que implica para $k\geq 0$: $$\tag{3} F(\zeta_{k+1}) + \zeta_{k+1}^2 F(\zeta_k) = \rho(\zeta_{k+1})$$ Si continua la fracción de $\alpha$ es de la forma $$\alpha = [a_0;a_1,\cdots,a_m,\overline{b_1,\cdots,b_r}]$$ A continuación, $\zeta_{m+r+1} = \zeta_{m+1}$, así que al final hemos entrado en un ciclo. $(3)$ da un sistema de $m+r+1$ ecuaciones lineales (mediante el establecimiento $k=0,\cdots,m+r$), con $m+r+1$ variables: $F(\zeta_0), F(\zeta_1),\cdots,F(\zeta_{m+r})$. $$\begin{cases} F(\zeta_1) + \zeta_1^2 F(\zeta_0) &= \rho(\zeta_1) \\ F(\zeta_2) + \zeta_2^2 F(\zeta_1) &= \rho(\zeta_2) \\ \cdots \\ F(\zeta_{m+1}) + \zeta_{m+1}^2 F(\zeta_{m+r}) &= \rho(\zeta_{m+1}) \end{casos}$$ La solución da el valor de $F(\zeta_0)=F(\alpha)$.

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Para $\alpha = \sqrt{61} = [7;\overline{1,4,3,1,2,2,1,3,4,1,14}]$, tenemos $$\begin{aligned} \zeta_0 = \sqrt{61} \qquad \zeta_1 &= \frac{1}{12}(7+\sqrt{61}) \\ \zeta_2 = \frac{1}{3}(5+\sqrt{61}) \qquad \zeta_3 &= \frac{1}{4}(7+\sqrt{61})\\ \zeta_4 = \frac{1}{9}(5+\sqrt{61}) \qquad \zeta_5 &= \frac{1}{5}(4+\sqrt{61})\\ \zeta_6 = \frac{1}{5}(6+\sqrt{61}) \qquad \zeta_7 &= \frac{1}{9}(4+\sqrt{61})\\ \zeta_8 = \frac{1}{4}(5+\sqrt{61}) \qquad \zeta_9 &= \frac{1}{3}(7+\sqrt{61}) \\ \zeta_{10} = \frac{1}{12}(5+\sqrt{61}) \qquad \zeta_{11} &= \frac{1}{12}(7+\sqrt{61}) \end{aligned}$$ resolviendo el sistema anterior da el resultado.

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Un par de ejemplos: para $\alpha = (1+\sqrt{5})/2$, la continuación de la fracción tiene período de $1$, sustitución directa en $(2)$da $$\sum_{n=1}^\infty \frac{\cot(n\pi \frac{1+\sqrt{5}}{2})}{n^3} = -\frac{\pi ^3}{45 \sqrt{5}}$$ La complejidad de resultado aumenta a medida que el período de $\alpha$ aumenta. Para $\alpha = \sqrt{211}$, que tiene período de $26$: $$\sum_{n=1}^\infty \frac{\cot(n\pi \sqrt{211})}{n^3} = \frac{128833758679 \pi ^3}{383254107060 \sqrt{211}}$$ Para $\alpha = \sqrt{1051}$, con un periodo $50$: $$\sum_{n=1}^\infty \frac{\cot(n\pi \sqrt{1051})}{n^3} = \frac{47332791433774124737806821 \pi ^3}{589394448213331173141730140 \sqrt{1051}}$$ Para $\alpha = \sqrt{3361}$, con un periodo $95$: $$\sum_{n=1}^\infty \frac{\cuna(n\pi \sqrt{3361})}{n^3} = -\frac{21398204683553311136959481444654882139602077 \pi ^3}{862144802276358317644836682685386007371980 \sqrt{3361}}$$ Cuando $\alpha$ no es "pura", cuadrática irracional, por ejemplo, $\alpha = 1/4 + \sqrt{7}/{3}$, el resultado implica el "término constante" (espero que no haya una explicación conceptual detrás de esto): $$\sum_{n=1}^\infty \frac{\cuna(n\pi(\frac{1}{4}+\frac{\sqrt{7}}{3}))}{n^3} = \frac{13 \pi ^3}{288}+\frac{104771 \pi ^3}{1244160 \sqrt{7}}$$ La forma cerrada de aquí se sigue inmediatamente señalando $\csc x = \cot (x/2) - \cot x$.

Answer 2

Suspiro. Yo creo que el Pisco de la secuencia de $\zeta_1$ a $\zeta_{11}$ coincide con la columna del medio (todos los signos más) en el Prof. Lubin no-calculadora método para la resolución de la beca Pell, y es probable que lo Fermat, Wallis, Brouncker utiliza todos los años. Sí! Si seguía un paso más, me gustaría conseguir $\zeta_{11},$ lo que equivale a $\zeta_1$

Método descrito por el Prof. Lubin a Continuación fracción de $\sqrt{67} - 4$

$$ \sqrt { 61} = 7 + \frac{ \sqrt {61} - 7 }{ 1 } $$ $$ \frac{ 1 }{ \sqrt {61} - 7 } = \frac{ \sqrt {61} + 7 }{12 } = 1 + \frac{ \sqrt {61} - 5 }{12 } $$ $$ \frac{ 12 }{ \sqrt {61} - 5 } = \frac{ \sqrt {61} + 5 }{3 } = 4 + \frac{ \sqrt {61} - 7 }{3 } $$ $$ \frac{ 3 }{ \sqrt {61} - 7 } = \frac{ \sqrt {61} + 7 }{4 } = 3 + \frac{ \sqrt {61} - 5 }{4 } $$ $$ \frac{ 4 }{ \sqrt {61} - 5 } = \frac{ \sqrt {61} + 5 }{9 } = 1 + \frac{ \sqrt {61} - 4 }{9 } $$ $$ \frac{ 9 }{ \sqrt {61} - 4 } = \frac{ \sqrt {61} + 4 }{5 } = 2 + \frac{ \sqrt {61} - 6 }{5 } $$ $$ \frac{ 5 }{ \sqrt {61} - 6 } = \frac{ \sqrt {61} + 6 }{5 } = 2 + \frac{ \sqrt {61} - 4 }{5 } $$ $$ \frac{ 5 }{ \sqrt {61} - 4 } = \frac{ \sqrt {61} + 4 }{9 } = 1 + \frac{ \sqrt {61} - 5 }{9 } $$ $$ \frac{ 9 }{ \sqrt {61} - 5 } = \frac{ \sqrt {61} + 5 }{4 } = 3 + \frac{ \sqrt {61} - 7 }{4 } $$ $$ \frac{ 4 }{ \sqrt {61} - 7 } = \frac{ \sqrt {61} + 7 }{3 } = 4 + \frac{ \sqrt {61} - 5 }{3 } $$ $$ \frac{ 3 }{ \sqrt {61} - 5 } = \frac{ \sqrt {61} + 5 }{12 } = 1 + \frac{ \sqrt {61} - 7 }{12 } $$ $$ \frac{ 12 }{ \sqrt {61} - 7 } = \frac{ \sqrt {61} + 7 }{1 } = 14 + \frac{ \sqrt {61} - 7 }{1 } $$

Simple continuación de la fracción de tableau:
$$ \begin{array}{cccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccc} & & 7 & & 1 & & 4 & & 3 & & 1 & & 2 & & 2 & & 1 & & 3 & & 4 & & 1 & & 14 & & 1 & & 4 & & 3 & & 1 & & 2 & & 2 & & 1 & & 3 & & 4 & & 1 & & 14 & \\ \\ \frac{ 0 }{ 1 } & \frac{ 1 }{ 0 } & & \frac{ 7 }{ 1 } & & \frac{ 8 }{ 1 } & & \frac{ 39 }{ 5 } & & \frac{ 125 }{ 16 } & & \frac{ 164 }{ 21 } & & \frac{ 453 }{ 58 } & & \frac{ 1070 }{ 137 } & & \frac{ 1523 }{ 195 } & & \frac{ 5639 }{ 722 } & & \frac{ 24079 }{ 3083 } & & \frac{ 29718 }{ 3805 } & & \frac{ 440131 }{ 56353 } & & \frac{ 469849 }{ 60158 } & & \frac{ 2319527 }{ 296985 } & & \frac{ 7428430 }{ 951113 } & & \frac{ 9747957 }{ 1248098 } & & \frac{ 26924344 }{ 3447309 } & & \frac{ 63596645 }{ 8142716 } & & \frac{ 90520989 }{ 11590025 } & & \frac{ 335159612 }{ 42912791 } & & \frac{ 1431159437 }{ 183241189 } & & \frac{ 1766319049 }{ 226153980 } \\ \\ & 1 & & -12 & & 3 & & -4 & & 9 & & -5 & & 5 & & -9 & & 4 & & -3 & & 12 & & -1 & & 12 & & -3 & & 4 & & -9 & & 5 & & -5 & & 9 & & -4 & & 3 & & -12 & & 1 \end{array} $$

$$ \begin{array}{cccc} \frac{ 1 }{ 0 } & 1^2 - 61 \cdot 0^2 = 1 & \mbox{digit} & 7 \\ \frac{ 7 }{ 1 } & 7^2 - 61 \cdot 1^2 = -12 & \mbox{digit} & 1 \\ \frac{ 8 }{ 1 } & 8^2 - 61 \cdot 1^2 = 3 & \mbox{digit} & 4 \\ \frac{ 39 }{ 5 } & 39^2 - 61 \cdot 5^2 = -4 & \mbox{digit} & 3 \\ \frac{ 125 }{ 16 } & 125^2 - 61 \cdot 16^2 = 9 & \mbox{digit} & 1 \\ \frac{ 164 }{ 21 } & 164^2 - 61 \cdot 21^2 = -5 & \mbox{digit} & 2 \\ \frac{ 453 }{ 58 } & 453^2 - 61 \cdot 58^2 = 5 & \mbox{digit} & 2 \\ \frac{ 1070 }{ 137 } & 1070^2 - 61 \cdot 137^2 = -9 & \mbox{digit} & 1 \\ \frac{ 1523 }{ 195 } & 1523^2 - 61 \cdot 195^2 = 4 & \mbox{digit} & 3 \\ \frac{ 5639 }{ 722 } & 5639^2 - 61 \cdot 722^2 = -3 & \mbox{digit} & 4 \\ \frac{ 24079 }{ 3083 } & 24079^2 - 61 \cdot 3083^2 = 12 & \mbox{digit} & 1 \\ \frac{ 29718 }{ 3805 } & 29718^2 - 61 \cdot 3805^2 = -1 & \mbox{digit} & 14 \\ \frac{ 440131 }{ 56353 } & 440131^2 - 61 \cdot 56353^2 = 12 & \mbox{digit} & 1 \\ \frac{ 469849 }{ 60158 } & 469849^2 - 61 \cdot 60158^2 = -3 & \mbox{digit} & 4 \\ \frac{ 2319527 }{ 296985 } & 2319527^2 - 61 \cdot 296985^2 = 4 & \mbox{digit} & 3 \\ \frac{ 7428430 }{ 951113 } & 7428430^2 - 61 \cdot 951113^2 = -9 & \mbox{digit} & 1 \\ \frac{ 9747957 }{ 1248098 } & 9747957^2 - 61 \cdot 1248098^2 = 5 & \mbox{digit} & 2 \\ \frac{ 26924344 }{ 3447309 } & 26924344^2 - 61 \cdot 3447309^2 = -5 & \mbox{digit} & 2 \\ \frac{ 63596645 }{ 8142716 } & 63596645^2 - 61 \cdot 8142716^2 = 9 & \mbox{digit} & 1 \\ \frac{ 90520989 }{ 11590025 } & 90520989^2 - 61 \cdot 11590025^2 = -4 & \mbox{digit} & 3 \\ \frac{ 335159612 }{ 42912791 } & 335159612^2 - 61 \cdot 42912791^2 = 3 & \mbox{digit} & 4 \\ \frac{ 1431159437 }{ 183241189 } & 1431159437^2 - 61 \cdot 183241189^2 = -12 & \mbox{digit} & 1 \\ \frac{ 1766319049 }{ 226153980 } & 1766319049^2 - 61 \cdot 226153980^2 = 1 & \mbox{digit} & 14 \\ \end{array} $$