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Question

Yo estoy encargada de que

Si $a,b\in \mathbb{R}$, muestra que el $\max{{a,b}}=\frac1{2}(a+b+|a-b|)$

Creo que puedo decir "sin pérdida de generalidad, que $a0$ pero también, $$\max{{a,b}}=b=\frac1{2}a+\frac1{2}b-\frac1{2}a+\frac1{2}b$ $ $$=\frac1{2}(a+b-a+b)$ $ $$=\frac1{2}(a+b+(-a+b))$ $ $$=\frac1{2}(a+b+|b-a|)$ $ $$=\frac1{2}(a+b+|a-b|)$ $

¿Vale este? ¿Funciona la prueba (si es aplicable) así mismo para la función de $\min$?

Answer 1

Aquí le damos otro enfoque:

$\max(x,y)+\min(x,y) = x+y$ y $\max(x,y)-\min(x,y) = |x-y|$.

Añadir/restar da $\max(x,y) = {1 \over 2}(x+y+|x-y|)$, $\min(x,y) = {1 \over 2}(x+y-|x-y|)$

Answer 2

Hay $3$ separados de los casos usted debe cubrir.

1. $a \lt b$

2. $a = b$ y

3. $a \gt b$

Usted ha cubierto (1). Pero esto es sólo una posibilidad. También debe mostrar que la igualdad tiene por $a = b$. De nuevo, no sería demasiado difícil. Y se puede argumentar que el caso (3) puede ser mostrado bastante mucho la misma manera que la primera.

La falacia de la lógica es esta: "No todos los números reales son tales que $a \lt b$ y que están obligados a demostrar la identidad para cada número real"

Answer 3

El "sin pérdida de generalidad $a****

También necesita cubrir el caso $a=b$.

Answer 4

$$max(a,b) = \frac 1 2 (a + b - |a - b|)$$ $$\text{if}(a \ge b, a, b) = \frac 1 2 (a + b + \text{if}(a - b \ge 0, a - b, -(a - b))$$

$$\text{if}(a \ge b, a, b) = \frac 1 2 (a + b + \text{if}(a \ge b, a - b, b - a))$$

$$\text{if}(a \ge b, a, b) = \text{if}(a \ge b, \frac 1 2 (a + b + a - b), \frac 1 2 (a + b + b - a))$$

$$\text{if}(a \ge b, a, b) = \text{if}(a \ge b, a, b)$$