Intentamos extender a cero usando el caso inductivo hacia atrás:
$$a\uparrow^1b=a^b=a\uparrow^0 (a\uparrow^1 (b-1))$$
$$a^b=a\uparrow^0 a^{b-1}$$
Entonces una definición sensata de $a\uparrow^0b$ es simplemente $ab$.
¿Podemos extender a números negativos?
$$ab=a\uparrow^{-1}(a(b-1))$$
$$a\uparrow^{-1}b=a+b$$
Aquí encontraremos un pequeño problema:
$$a+b=a\uparrow^{-2}(a+b-1)$$
Realmente la definición sensata aquí es que $a\uparrow^{-2}b=b+1$. Ahora solo tenemos un argumento, en realidad. $a$ es irrelevante. Si sustituimos esto, obtenemos
$$b+1=a\uparrow^{-3}b$$
Pero por supuesto, esto es lo mismo que $a\uparrow^{-2}b$. Así que realmente no obtenemos nada nuevo aquí. No se puede seguir descomponiéndolo en cosas más pequeñas: sumar uno no es una "operación repetida" en ningún sentido real.
Me imagino una extensión a $\mathbb{Q}$, olvidémonos de $\mathbb{R}$, en algún punto entre arbitrario e imposible. El problema principal aquí es que esta definición se basa fundamentalmente en la inducción. Esto necesita un caso base, y un sentido de un próximo elemento, ambos de los cuales definen los números naturales (o algo similar que termina en el extremo izquierdo) como el escenario natural.
Aquí es donde me gustaría decir algo sobre otras ideas basadas en la inducción con extensiones continuas (por ejemplo, factoriales y la función gamma), pero realmente no veo una forma de vincular las ideas utilizadas en esa extensión (o similares) a este caso.
