Qué condiciones no triviales suficientes y / o necesarias existen para la existencia de una progresión aritmética (longitud finita o infinita) en un subconjunto infinito de$\mathbb N$.
Respuesta
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Supongo que usted sabe todo esto, pero:
El teorema de Szemerédi da una condición suficiente: basta con que el conjunto de ( $A$ ) tiene efectos positivos superior de densidad, que es, $$ \limsup_n \frac{|A\cap[1,n]|}n>0. $$ This improved van der Waerden's theorem that ensures that for any $A\subseteq\mathbb N$, o su complemento ha arbitrariamente grandes progresiones.
El Green-Tao teorema muestra que Szemerédi la condición no es necesaria: Los números primos han arbitrariamente largas filas, y la densidad cero. Pero su argumento identifica un fortalecimiento de Szemerédi del resultado. Como dicen ellos, "cualquier subconjunto de un suficientemente pseudoaleatoria conjunto de positivo densidad relativa contiene progresiones de longitud arbitraria." Por la precisa (algo técnico) de la declaración, vea el Teorema 3.5 en su papel Los números primos contienen progresiones aritméticas arbitrariamente largas.
La conjetura de Erdős extendería tanto en los resultados: basta con que $$\sum_{n\in A} \frac1n=+\infty.$$ This is currently completely open: We do not even know that such an $Un$ contains $3$plazo progresiones.
Algunos de los resultados que se conocen en el término descriptivo de la teoría de conjuntos. El punto es que los conjuntos de $B$ que no contienen arbitrariamente grandes progresiones forma de un ideal (es decir, si $\mathcal I$ es la clase de tales conjuntos de $B$, entonces si $C\subseteq B\in\mathcal I$,$C\in\mathcal I$, y si $B,D\in\mathcal I$,$B\cup D\in\mathcal I$). Este ideal es un Borel ideal (la identificación con un subconjunto de a $2^{\mathbb N}$, dotado con el producto habitual de la topología), y por lo tanto, adecuado a las técnicas de descriptivo de la teoría de conjuntos y establecer teórico de la topología. Véase, por ejemplo, estas diapositivas por Jana Flašková. En efecto, existe una considerable literatura sobre ultrafilters y su conexión a van der Waerden del teorema.
