Teoremas de Cox generalizados, valoraciones en conjuntos booleanos, probabilidades bayesianas y posets

Question

Las probabilidades bayesianas suelen estar justificadas por los teoremas de Cox, que pueden escribirse así:

Bajo algunos supuestos técnicos (continuidad, etc, etc...), dado un conjunto $P$ de objetos $A, B, C, \ldots$ con un álgebra booleana definida sobre ella con operaciones $A \wedge B$ (y) y $A | B$ (o) tal que :

1) $A \wedge B = B \wedge A$

2) $A \wedge (B \wedge C) = (A \wedge B) \wedge C$

3) $A | (B \wedge C) = (A|B) \wedge (A|C)$

y una "valoración":

$f : P \rightarrow \mathcal{R}$

existe una "función de regraduación" estrictamente monótona $R : \mathcal{R} \rightarrow \mathcal{R}$ tal que, para :

$R(f(A\wedge B)) = R(f(A)) + R(f(B))$ (regla de la suma)

y

$R(f(A|B)) = R(f(A) ) R(f(B))$ (regla del producto)

Este teorema permite demostrar que cualquier sistema diseñado para "evaluar" expresiones booleanas de forma coherente con un único número real se rige por las leyes de la probabilidad clásica (esto puede verse brevemente aquí: arxiv:physics/0403089 y más detalladamente aquí: arxiv:abs/0808.0012).

Recientemente se ha ampliado para valoraciones del tipo $f : P \rightarrow \mathcal{R}^2$ en http://arxiv.org/abs/0907.0909 y demostraron que sólo hay 5 valoraciones canónicas compatibles con el álgebra de Boole subyacente (una de ellas dando una estructura de campo complejo al campo de "valoración").

Mi pregunta es: ¿es posible/interesante/factible clasificar al menos una clase de valoraciones del tipo:

$f : P \rightarrow W$

¿donde W es un colector continuo? Si limitamos nuestra atención a $\mathcal{R}^n$ por ejemplo, ¿existe, para cada n, un conjunto de valoraciones canónicas al que puedan reducirse todas las demás tras una regraduación?

Si esto se puede hacer, ¿son reglas agradables para la inferencia en algún sentido? ¿Son útiles como herramientas de inferencia en situaciones específicas?

Answer 1

Gracias por tomar nota de nuestro trabajo en este ámbito. Esto se ha trabajado con más detalle aquí:

Dualidad reticular: El origen de la probabilidad y la entropía. Neurocomputing. 67C: 245-274. DOI: 10.1016/j.neucom.2004.11.039 http://knuthlab.rit.albany.edu/papers/knuth-neurocomp-05-published.pdf

En primer lugar, se señala y describe su aplicación fundamental a una amplia gama de problemas arXiv:physics/0403031v1

que fue, en parte, la inspiración del artículo sobre mecánica cuántica que usted amablemente señala más arriba: arXiv:0907.0909

Por último, tengo una derivación más reciente de la teoría bayesiana de la probabilidad a partir de celosías con pruebas gráficas sencillas: arXiv:0909.3684

Este trabajo es literalmente una derivación de la teoría de la medida a partir de la simetría mucho más básica de la asociatividad. Es inmediatamente aplicable a los entramados booleanos de enunciados, lo que da lugar a la teoría bayesiana de la probabilidad. Y, como hemos demostrado, da lugar a la teoría de la información y a las complejas reglas de Feynman de la Mecánica Cuántica.

Saludos Kevin