Quiero preguntar si alguien tiene una idea de cómo resolver este problema a través de la primaria topología diferencial métodos que no impliquen topológico $K$-teoría como $H$-espacios, $J$-homomorphism, etc. Incluso si utilizamos $K$-teoría, entonces, sabemos $$\overline{K}(\mathbb{S}^{5})=0$$via Bott periodicity. This implies $K(\mathbb{S}^{5})=\mathbb{Z}$. But this does not help me to know whether the tangent bundle itself is trivial. It is not clear to me what elementary differential topology tools I should use as the instructor hinted $\mathbb{S}(\mathbb{TS}^{5})$ has the same homotopy groups as $\mathbb{S}^{5}\times \mathbb{S}^{4}$. Me siento en la necesidad de la pesada maquinaria de la característica de las clases, pero no sé cómo hacer que funcione en este caso a partir de las definiciones.
Realmente una elemental forma de pensar es a través del embrague de la construcción. Entonces la tangente paquete está dada por una clase de transición en $\pi_{4}(SL(4,\mathbb{R})$. La posterior deformación se retrae a $\pi_{4}(SO(4,\mathbb{R}))$ si le damos una métrica o límite de transformaciones ortogonales. Ya sabemos $SO(4,\mathbb{R})\cong \mathbb{S}^{3}\times \mathbb{RP}_{3}$, parece que podemos trabajar directamente si conocemos $\pi_{4}(\mathbb{S}^{3})$$\pi_{4}(\mathbb{RP}_{3})$, que debe ser $\mathbb{Z}$ en ambos casos. Pero el hecho de $$\pi_{4}(SO(4,\mathbb{R}))=\mathbb{Z}\oplus \mathbb{Z}$$ nos dicen muy poco sobre el mapa de clasificación de $\mathbb{TS^{5}}$. Aunque parece "claro" para mí que $\mathbb{TS}^{2}$ es el doble de la del generador de la clase de $\pi_{1}(SO(2,\mathbb{R}))$, no está claro cómo la misma intuición geométrica puede ser de ayuda en este caso.
Hay una casi idéntica a la del post anterior con ninguna respuesta concluyente. Así que no estoy seguro de si este ajuste en las normas del foro.
