Entonces es $f_a$ ¿Continuo?

Question

Perdón por el mal título, esta es la pregunta

Dada una función diferenciable definida en R. Para un número dado $a$ , $\forall x\in \mathbb R, x\neq a$ por el teorema del valor medio, existe un $\xi$ entre $a$ y $x$ tal que $f'(\xi)=\frac {f(x)-f(a)}{x-a}$ . Supongamos que es único para todos $x\neq a$ . Por lo tanto $\forall x\neq a$ definimos $f_a$ como $f_a(x)=\xi$ . Entonces es $f_a$ ¿Continuo?

Answer 1

El teorema del valor medio dice que para cualquier $x\ne a$ existe $\xi \in [a,x]$ tal que $$ \frac{f(x)-f(a)}{x-a} = f'(\xi). $$ Creo que la pregunta es: si la elección de $\xi$ es única, entonces si definimos $f_a(x)$ ser que $\xi$ para un determinado $x$ entonces es $f_a$ ¿Continuo? También supongo que "diferenciable" significa "la derivada existe y es continua".

A mí me parece que la suposición de que el $\xi$ es siempre único implica que $f'$ es monótona. Si eso es cierto, entonces $(f')^{-1}$ existe y es continua, y tenemos $$ f_a(x) = (f')^{-1} \bigg( \frac{f(x)-f(a)}{x-a} \bigg). $$ Como composición de funciones continuas, es claramente continua en todas partes excepto en $x=a$ . Si además definimos $f_a(a)=a$ entonces coincide con su límite allí y por lo tanto también es continua.

¿Puede alguien (des)probar la afirmación de que $f'$ es monótona bajo el supuesto de unicidad?