Hamiltoniano invariante por traslación y propiedad de los estados propios de energía

Question

Si el Hamiltoniano de un sistema mecánico cuántico es invariante bajo traslación espacial, entonces el momento lineal es una constante de movimiento. Aparte de eso, ¿podemos hacer algún comentario sobre la naturaleza del estados propios de energía ? ¿Y si el hamiltoniano es invariante bajo traslación discreta, como en un cristal periódico?

EDITAR: Por ejemplo, si el Hamiltoniano es invariante de paridad, entonces los eigenestados de energía no degenerados son pares o Impares. Entonces, ¿podemos concluir algo similar a esto? El teorema de Bloch se refiere a la traslación discreta. ¿Qué pasaría si la simetría de traslación es continua?

No estoy interesado en ningún ejemplo específico de Hamiltoniano invariante traslacional. Me interesa la propiedad de los estados propios de energía de un hamiltoniano genérico traslacionalmente invariante. En particular, supongo que la invariancia traslacional conduce a un eigenestado de energía que está deslocalizado en el espacio. Pero no estoy siendo capaz de demostrarlo matemáticamente.

Answer 1

No No existe tal requisito. Es bastante fácil encontrar contraejemplos en los que se tienen hamiltonianos invariantes por traslación que tienen estados propios de energía localizados sin dicha invariancia por traslación. En particular, la afirmación que haces,

La invariancia traslacional conduce a un estado propio de energía que está deslocalizado en el espacio,

es falsa en general, dada la comprensión razonable de lo anterior en la afirmación más precisa

si $H$ es invariable por traslación y $|\psi\rangle$ es una función propia de $H$ entonces $|\psi\rangle$ también tiene que ser invariante de la traslación

que no se sostiene.

Para hacer un contraejemplo sencillo de la afirmación anterior, considere el hamiltoniano para una partícula libre en dos dimensiones, $H=\frac12(p_x^2+p_y^2)$ que obviamente tiene invariancia de traslación y funciones propias invariantes de traslación de la forma $$ \langle x,y|p_x,p_z\rangle = \frac{1}{2\pi} e^{i(xp_x+yp_y)}. $$ Sin embargo, no hay ningún requisito de que las funciones propias sean así, y de hecho se pueden formar funciones de onda rotacionalmente invariantes que tengan una clara localización en el origen tomando superposiciones en fase de ondas planas de la forma $$ |p,l\rangle = \frac{1}{2\pi} \int_0^{2\pi} e^{il\theta}|p\cos(\theta),p\sin(\theta)\rangle \mathrm d\theta. $$ Esto es algo más fácil de entender en coordenadas polares, donde se tiene \begin {align} \langle r, \theta |p,l \rangle & = \frac {1}{2 \pi } \int_0 ^{2 \pi } \langle r, \theta |p \cos ( \theta '),p \sin ( \theta ') \rangle e^{il \theta '} \mathrm d \theta ' \\ & = \frac {1}{(2 \pi )^2} \int_0 ^{2 \pi } e^{ipr( \cos ( \theta ) \cos ( \theta ')+ \sin ( \theta ) \sin ( \theta '))} e^{il \theta '} \mathrm d \theta ' \\ & = \frac {1}{(2 \pi )^2} e^{il \theta } \int_0 ^{2 \pi } e^{ipr \cos ( \theta '- \theta )} e^{il( \theta '- \theta )} \mathrm d( \theta '- \theta ') \\ & = \frac {i^{l}}{2 \pi } e^{il \theta } J_{l}(pr) , \end {align} que son, obviamente, las soluciones cilíndricas-armónicas separables de la ecuación de Schrödinger en dos dimensiones. Esto significa que son funciones propias legítimas de $H$ pero no tienen absolutamente nada que ver con la simetría de traslación. En cambio, son funciones propias de la simetría rotacional de $H$ - y, de hecho, los estados de onda plana con los que empezaste son excelentes ejemplos de cómo un hamiltoniano rotacionalmente invariante puede tener funciones propias que no respetan esa simetría.

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Dicho esto, si realmente buscas una analogía con el resultado inicial que has declarado,

si el Hamiltoniano es invariante de paridad, entonces los estados propios de energía no degenerados son pares o Impares

entonces sí, es posible - pero es absolutamente crucial tener valores propios no degenerados. (Por supuesto, esto también es cierto en el caso de la paridad, y si tienes estados propios pares e Impares en el mismo valor propio, entonces es trivial construir estados propios de paridad mixta que no tengan ninguna simetría definida).

Si consigues encontrar un hamiltoniano invariante por traslación $H$ tal que $[H,T_a]=0$ y algún valor propio $p$ es no degenerado (como por ejemplo $p=0$ para una partícula libre como único caso físicamente relevante), entonces sí, el estado propio $|\psi_p\rangle$ debe ser invariante traslacional, ya que $T_a|\psi_p\rangle$ debe ser un estado propio del mismo valor propio, y por no-degeneración debe ser proporcional a $|\psi_p\rangle$ es decir $T_a|\psi_p\rangle = e^{i f(a)}|\psi_p\rangle$ Así que $|\psi_p\rangle$ es invariable por traslación.

Sin embargo, estás muy poco probable de encontrar cualquier hamiltonianos no triviales y físicamente significativos que son invariantes traslacionales pero no invariantes de paridad, por lo que siempre se tendrá al menos una degeneración energética doble en todos los valores propios no nulos, haciendo que el argumento anterior sea en gran medida inútil.

Answer 2

Me parece que te interesaría el siguiente teorema:

Si dos operadores $A$ y $B$ conmutar, podemos encontrar un base propia conjunta de vectores $|a, b\rangle$ para que $A |a,b \rangle = \lambda_a\, |a,b\rangle$ y $B |a,b \rangle = \mu_b\, |a,b\rangle$ .

Apliquemos esto a los sistemas de los que habla:

• Si el Hamilton es paritario-invariante, eso significa $[H,P] = 0$ . Entonces, por el teorema anterior, podemos elegir la base propia de $H$ de tal manera que cada vector propio $|n\rangle$ tiene una paridad definitiva, $P|n\rangle = \pm |n\rangle$ . De esto concluimos $$ \psi_n(x) = \langle x | n \rangle = \pm \langle x | P | n \rangle = \pm \langle -x | n \rangle = \pm \psi_n(-x) \;. $$

• Dejemos que $T_x$ sea una traducción por $x$ . Si el Hamilton es invariante de la traslación (simetría continua), entonces $[H, T_x] = 0$ para todos $x$ . Recuerde $$ T_x = \exp\left( -\frac {\mathrm i} \hbar x\, p \right) $$ (donde $p$ es el operador de momento). Si $H$ y $T_x$ ir al trabajo para todos $x$ esto debe significar que $[H,p] = 0$ . Por el teorema anterior, podemos encontrar una base de vectores propios $|n\rangle$ del Hamiltoniano que también son vectores propios de $p$ para que $$ \psi_n(x) \sim \mathrm e^{\frac{\mathrm i}\hbar k_n x} $$ para algunos $k_n$ .

• Si sólo $[H, T_x] = 0$ para la discreción $x = na$ . Aplicando de nuevo el teorema, obtenemos que podemos elegir una base donde $$ \psi_n(x + a) = C \psi_n(x) \;, $$ donde $C$ es una constante con $|C| = 1$ . Escriba $C = \mathrm e^{2\pi\mathrm i\, \theta}$ , defina $k = \frac{2\pi\theta}a$ y $$ u_n(x) = \mathrm e^{-\mathrm i kx} \psi_n(x) \;. $$ Inmediatamente se ve que $u_n(x+a) = u_n(x)$ Y ahora entendemos cómo el teorema de Bloch se desprende del teorema general que he citado anteriormente.
  (El teorema de Bloch establece que $\psi_n(x) = \mathrm e^{\mathrm i kx} u_n(x)$ con la periodicidad de $u_n$ .)

Importante: "podemos encontrar una base propia tal que..." no significa en general que todas las bases tengan esta forma. Si el espectro de $H$ es degenerado, en general podremos escribir vectores base de $H$ que no respetan la simetría del otro operador, sea $P$ o $T_x$ . Ver la respuesta de Emilio Pisanty.

Answer 3

Trabajo en una dimensión espacial para simplificar. Si el hamiltoniano es invariante de traslación, es decir, si

$$\left[H,U\right]=0$$

para el operador de traslación unitario

$$U = e^{-ip},$$

entonces podemos encontrar estados propios simultáneos $\left|\varepsilon,\theta\right>$ del Hamiltoniano y del operador de traslación, donde $H\left|\varepsilon,\theta\right>=\varepsilon\left|\varepsilon,\theta\right>$ y $U\left|\varepsilon,\theta\right>=e^{i\theta}\left|\varepsilon,\theta\right>.$ Consideremos la función de onda espacial

$$\psi(x)= \left<x\right|\left.\!\varepsilon,\theta\right>.$$ Vemos que $$ \begin{align} \psi(x+a) &= \left<x+a\right|\left.\!\varepsilon,\theta\right>\\ &=\left<x\right|U^{-a}\left|\varepsilon,\theta\right>\\ &= e^{-ia\theta}\psi(x) \end{align} $$ para todos los reales $a$ . De ello se desprende que $$|\psi(x)|^2 = |\psi(x')|^2$$ para todos $x$ , $x'$ por lo que la densidad de probabilidad descrita por dicha función de onda es espacialmente constante. Cualquier función no nula que obedezca esta condición no tendrá un $L^2$ norma.

Answer 4

Para los sistemas discretos invariantes por traslación Teorema de Bloch se aplica.

Para la invariancia traslacional continua del hamiltoniano el hamiltoniano es una constante ( $\forall a:H(r) = H(r+a) \rightarrow H(r)=H=const.$ ). Por lo tanto, ondas planas son un conjunto de estados propios (lo que de hecho también concuerda con el límite continuo del teorema de Bloch).