En mi antiguo número de la teoría de la notebook esto se afirma como un hecho. Sin embargo, me encontré con problemas cuando traté de demostrarlo. En primer lugar, permítanme estado de la (supuesta) teorema de precisión:
Teorema (?)
Deje $K$ ser un campo numérico con el anillo de enteros $O_K$. Deje $p$ ser una de las primeras de $\mathbb{Z}$. A continuación, $O_K\otimes \mathbb{Z}_p\cong \oplus_{\mathfrak{p}|p}O_{K,\mathfrak{p}}$ donde $\mathfrak{p}$ ejecuta a través de los números primos de $O_K$ que se encuentran más de $p$, y donde $O_{K,\mathfrak{p}}$ es la formal anillo local de $O_K$ $\mathfrak{p}$ (es decir, $\varprojlim O_K/\mathfrak{p}^n$).
Intento
La manera en que yo estaba pensando en probar esto es a través del Teorema del Resto Chino. La siguientes es verdadera para todo número natural $n$: $$O_K\otimes \mathbb{Z}/p^n\mathbb{Z}\cong O_K/p^nO_K\cong O_K/\mathfrak{p}_1^{ne_1}\cdots \mathfrak{p}_m^{ne_m}\cong O_K/\mathfrak{p}_1^{ne_1}\oplus...\oplus O_K/\mathfrak{p}_m^{ne_m}.$$ donde $pO_K=\mathfrak{p}_1^{e_1}\cdots \mathfrak{p}_m^{e_m}$.
El siguiente paso natural es tomar el inverso de los límites de ambos lados con respecto a n. Como la inversa de los límites conmuta con directa sumas de dinero (ya que ambos son los límites), $\varprojlim O_K/\mathfrak{p}_1^{ne_1}\oplus...\oplus O_K/\mathfrak{p}_m^{ne_m}\cong O_{K,\mathfrak{p}_1}\oplus...\oplus O_{K,\mathfrak{p}_m}$.
Aquí es donde las ruedas vienen de argumento: la inversa de los límites generalmente no conmuta con tensor de productos. Esto es debido a la inversa límites son categóricos límites, mientras que el tensor de productos son categóricos colimits (de hecho, ellos son el subproducto de la categoría de $\mathbb{Z}$-álgebras). Así que no hay razón, a priori, que $\varprojlim O_K\otimes \mathbb{Z}/p^n\mathbb{Z}$ sería isomorfo a $O_K\otimes \mathbb{Z}_p$.
Así que esto me lleva a la
Pregunta
¿Por qué es el teorema de verdad? (si es que aún lo es).
