Integrando ambos lados de una ecuación con respecto a diferentes variables

Question

Así que estoy leyendo un libro llamado "Ecuaciones Diferenciales Ordinarias" (Tenenbaum Y Pollard) y en la introducción(ish) que están haciendo un ejemplo con una datación por carbono problema, representado como:

$\frac{dx}{dt} = -kx$

Que se cambie a

$\frac{dx}{x} = -k dt$

Y, a continuación, integrar a

$ \log x = -kt + c$

Pero eso no implica integrar con respecto a x en el lado izquierdo y la integración con respecto a t en el derecho? Hay una prueba que dice que está bien? Me imagino que está relacionado con el Teorema Fundamental del Cálculo, pero yo no veo nada.

Answer 1

Este es un sigiloso de la aplicación de la regla de la cadena. Ver aquí para una explicación:

http://www.math-cs.gordon.edu/courses/ma225/handouts/sepvar.pdf

Para la comodidad de los futuros usuarios, voy a resumir el argumento aquí:

Supongamos que tenemos algunas ecuaciones diferenciales $g(x)\frac{dx}{dt}=f(t)$ donde estamos tratando de recuperar una función de $x(t)$:

A continuación, se puede integrar con respecto a $t$ en ambos lados: $\int g(x)\frac{dx}{dt}dt=\int f(t)dt$. Pero desde $x(t)$ es una función de $t$, tenemos, por la regla de la cadena y ajuste de $G(x)$ s.t. $G'(x)=g(x)$ $\int g(x)\frac{dx}{dt}dt=G(x(t))=\int f(t)dt$, que se puede comprobar mediante la diferenciación.