$(\Leftarrow)$ Deje $S_n=\sum_{k\le n}X_k$. A continuación, $n^{-1}S_n$ es una inversión de la MTG y el uso de la Doob máxima desigualdad
$$\mathbb{E}\sup_{n}\frac{|X_n|}{n}\le 2\mathbb{E}\sup_{n}\frac{|S_n|}{n}$$
$$\le \frac{2e}{e-1}(1+\mathbb{E}|X_1|\ln^+|X_1|)\le \frac{2e}{e-1}(1+\mathbb{E}|X_1|\ln(1+|X_1|))<\infty$$
donde $\ln^+(\cdot)=\ln(\cdot)\vee 0$.
($\Rightarrow$) Deje $Y_n=1+|X_n|$. A continuación,$Y_n\ge 1$.s., $\mathbb{E}\sup_n\frac{Y_n}{n}<\infty$ y
$$\mathbb{E}|X_1|\ln(1+|X_1|)=\mathbb{E}Y_1\ln(Y_1)-\mathbb{E}\ln(Y_1)$$
El segundo término es finito porque $\mathbb{E}Y_1<\infty$ y
$$(*)\text{ }\mathbb{E}Y_1\ln(Y_1)=\int_1^\infty(\ln(y)+1)P\{Y_1>y\}dy$$
$$=\int_1^{\infty}\ln(y)P\{Y_1>y\}dy+[\mathbb{E}Y_1-1]$$
El segundo término de $(*)$ es finito. Deje $K\in\mathbb{N}$ ser tal que $Y_1\ge K-1$.s. y $P\{Y_1<K\}>0$. A continuación,$\sup_n \frac{Y_n}{n}\ge K-1$.s. y el primer término es también finito porque
$$\infty>\mathbb{E}\sup_n\frac{Y_n}{n}\ge \sum_{k=1}^\infty P\left\{\sup_n\frac{Y_n}{n}\ge k\right\}$$
$$=(K-1)+\sum_{k=K}^\infty P\left\{\sup_n\frac{Y_n}{n}\ge k\right\}\ge^1 (K-1)+C_K\sum_{k=K}^\infty\sum_{n=1}^\infty P\{Y_1\ge nk\}$$
(donde $C_K=\prod_{k=K}^\infty P\{Y_1\le k\}>0$)
y
$$(**)\text{ }\sum_{k=1}^\infty\sum_{n=1}^\infty P\{Y_1\ge nk\}<^2\infty \Leftrightarrow \int_1^{\infty}\ln(y)P\{Y_1>y\}dy <\infty$$
La RHS de $(**)$ converge iff
$$\int_1^\infty\int_1^\infty P\{Y_1>xy\}dxdy <\infty$$
Mediante el cambio de variables $u=x$, $v=xy$ el último se convierte en
$$\int_1^\infty\int_1^v\frac{1}{u}P\{Y_1>v\}dudv=\int_1^\infty \ln(v)P\{Y_1>v\}dv $$
que es el lado izquierdo de $(**)$.
$^1$ $k\ge K$
$$P\left\{\sup_n\frac{Y_n}{n}>k\right\}=\sum_{n=1}^\infty P\left\{\left\{\bigcap_{1\le i<n}Y_i\le ik\right\} \cap Y_{n}>nk\right\}$$
$$=\sum_{n=1}^\infty \prod_{i=1}^{n-1}P\{Y_1\le ik\}P\{Y_1> nk\}\ge C_K\sum_{n=1}^\infty P\{Y_1>nk\}$$
$^2$
$$\sum_{k=1}^\infty\sum_{n=1}^\infty P\{Y_1\ge nk\}\le (K-1)\sum_{n=1}^\infty P\{Y_1\ge n\}+\sum_{k=K}^\infty\sum_{n=1}^\infty P\{Y_1\ge nk\}$$
