Demostrar que .

Question

Pruebalo $\int_0^\frac{\pi}{4} \frac{1-\cos x}{x} \,dx < \frac{\pi^2}{64}$

Mostré que en$$ \forall x \in [0,\frac{\pi}{4}] \quad \int_0^\frac{\pi}{4} \frac{1-\cos x}{x} \,dx \le \int_0^\frac{\pi}{4} \frac{1-\cos(\frac{\pi}{4})}{\frac{\pi}{4}} \,dx = 1 -\frac{\sqrt2}{2} $ $ pero no es lo suficientemente bueno

Answer 1

Usando el hecho de que $\sin(x)\le x$ $x\ge0$, $$\begin{align} \int_0^{\pi/4}\frac{1-\cos(x)}x\,\mathrm{d}x &=\int_0^{\pi/4}\frac{2\sin^2(x/2)}x\,\mathrm{d}x\ &=\int_0^{\pi/4}\frac{\sin(x/2)}{x/2}\cdot\sin(x/2)\,\mathrm{d}x\ &\le\int_0^{\pi/4}1\cdot\frac x2\,\mathrm{d}x\[4pt] &=\frac{\pi^2}{64} \end {alinee el} $$

Answer 2

Otra manera de avanzar es recordar la serie de Taylor para el coseno

$$\cos x =\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n x^{2n}}{(2n)!} \tag 1$$

Teniendo en cuenta que $0\le x\le \pi/4$ los términos de la serie $(1)$ alternan señales y disminuye monótonamente. Por lo tanto, tenemos

$$\cos x \ge 1-\frac12 x^2$$

Para

$$\frac{1-\cos x}{x}\le \frac12 x$$

Por último, vemos que

$$\begin{align} \int_0^{\pi/4}\frac{1-\cos x}{x}\,dx &\le \int_0^{\pi/4} \frac12 x\, dx\\ &=\frac{\pi^2}{64} \end {Alinee el} $$

¡como era de mostrarse!

Answer 3

Indirecta: $1-\cos(x)=2\sin^2\left(\frac{x}{2}\right)$ y $0 \leq \frac{\sin(t)}{t}

Answer 4

Desde: $ de $$\frac{\sin x}{x}=\prod{n\geq 1}\left(1-\frac{x^2}{n^2\pi^2}\right) $ sobre el intervalo de $\left[0,\frac{\pi}{4}\right]$ tenemos: $$ \frac{1-\cos x}{x}=\left(\frac{\sin(x/2)}{x/2}\right)^2\cdot\frac{x}{2}\leq\left(1-\frac{x^2}{4\pi^2}\right)^2\frac{x}{2} $ $ así: $$ \int{0}^{\frac{\pi}{4}}\frac{1-\cos x}{x}\,dx \color{red}{\leq} \int_{0}^{\pi/4}\left(1-\frac{x^2}{4\pi^2}\right)^2\frac{x}{2}\,dx = \frac{\pi^2}{64}-\frac{191\,\pi^2}{3\cdot 2^{18}}.$ $